La méthode CESTAC (Contrôle et estimation stochastique des arrondis de calculs) consiste à évaluer la fiabilité des résultats fournis par l'ordinateur. En effet, celui-ci réalise des calculs utilisant une représentation finie (nombres à virgules flottantes) des nombres réels, alors que ces nombres sont non finis. D'où résultats avec incertitudes, erreurs d'arrondis et risque d'invalidation. Cette méthode permet grâce à un procédé statistique dynamique, de déterminer le nombre de chiffres décimaux significatifs exacts dans les résultats fournis par un programme de calcul scientifique. Cet article décrit le principe de la méthode ainsi que des exemples d'utilisation du logiciel CADNA (logiciel permettant cette validation numérique).
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Jean VIGNES
: Professeur émérite de l'université Pierre et Marie Curie
René ALT
: Professeur émérite de l'université Pierre et Marie Curie
INTRODUCTION
Les chapitres suivants sont consacrés à l'approche stochastique de la propagation des erreurs d'arrondi et de l'influence des incertitudes des données sur les résultats fournis par un programme scientifique.
C'est la seule méthode permettant à chaque ingénieur de répondre à la question posée précédemment qui en substance est : « Quel est le nombre de chiffres décimaux significatifs exacts dans les résultats fournis par un programme de calcul scientifique ? »
Ainsi, la méthode CESTAC (Contrôle et estimation stochastique des arrondis de calculs) est détaillée au chapitre 2, puis l'arithmétique stochastique est présentée au chapitre 3.
Le chapitre 4 est consacré à la description et à l'utilisation du logiciel CADNA (« Control of Accuracy and Debugging of Numerical Algorithms »). Ce logiciel met en œuvre la méthode CESTAC et l'arithmétique stochastique discrète.
Les chapitres 5 et 6 sont dédiés à l'apport du logiciel CADNA aux diverses méthodes de calcul numérique (directes, itératives et approchées) et à des exemples d'utilisation de ce logiciel. La conclusion constitue le chapitre 7.
Toute l'introduction de ces questions est faite dans le dossier [AF 1 470], la documentation est regroupée dans [Doc. AF 1 470].
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Du point de vue théorique, l'implémentation synchrone de la méthode CESTAC et l'utilisation de l'arrondi aléatoire transforme tout résultat informatique en une variable aléatoire quasi-gaussienne. Ainsi peut-on définir une arithmétique stochastique travaillant sur des éléments qui sont des variables aléatoires gaussiennes.
3.1 Arithmétique stochastique continue
Cette arithmétique travaille sur des opérandes appelés « nombres stochastiques », cf. [46].
Définition 1 – nombres stochastiques
L'ensemble des nombres stochastiques
est l'ensemble des variables aléatoires gaussiennes. Ainsi,
est défini par X = (m, σ ), m étant la moyenne de X et σ sont écart-type.
Si
et X = (m, σ ), il existe λη dépendant uniquement de η tel que :
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Bibliographie & annexes
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Logiciel CADNAest l'ensemble des variables aléatoires gaussiennes. Ainsi,
est défini par X = (m, σ ), m étant la moyenne de X et σ sont écart-type.
et X = (m, σ ), il existe λη dépendant uniquement de η tel que :
