Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
La méthode CESTAC (Contrôle et estimation stochastique des arrondis de calculs) consiste à évaluer la fiabilité des résultats fournis par l'ordinateur. En effet, celui-ci réalise des calculs utilisant une représentation finie (nombres à virgules flottantes) des nombres réels, alors que ces nombres sont non finis. D'où résultats avec incertitudes, erreurs d'arrondis et risque d'invalidation. Cette méthode permet grâce à un procédé statistique dynamique, de déterminer le nombre de chiffres décimaux significatifs exacts dans les résultats fournis par un programme de calcul scientifique. Cet article décrit le principe de la méthode ainsi que des exemples d'utilisation du logiciel CADNA (logiciel permettant cette validation numérique).
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Lire l’articleAuteur(s)
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Jean VIGNES : Professeur émérite de l'université Pierre et Marie Curie
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René ALT : Professeur émérite de l'université Pierre et Marie Curie
INTRODUCTION
Les chapitres suivants sont consacrés à l'approche stochastique de la propagation des erreurs d'arrondi et de l'influence des incertitudes des données sur les résultats fournis par un programme scientifique.
C'est la seule méthode permettant à chaque ingénieur de répondre à la question posée précédemment qui en substance est : « Quel est le nombre de chiffres décimaux significatifs exacts dans les résultats fournis par un programme de calcul scientifique ? »
Ainsi, la méthode CESTAC (Contrôle et estimation stochastique des arrondis de calculs) est détaillée au chapitre 2, puis l'arithmétique stochastique est présentée au chapitre 3.
Le chapitre 4 est consacré à la description et à l'utilisation du logiciel CADNA (« Control of Accuracy and Debugging of Numerical Algorithms »). Ce logiciel met en œuvre la méthode CESTAC et l'arithmétique stochastique discrète.
Les chapitres 5 et 6 sont dédiés à l'apport du logiciel CADNA aux diverses méthodes de calcul numérique (directes, itératives et approchées) et à des exemples d'utilisation de ce logiciel. La conclusion constitue le chapitre 7.
Toute l'introduction de ces questions est faite dans le dossier [AF 1 470], la documentation est regroupée dans [Doc. AF 1 470].
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Approche stochastique de l'analyse des erreurs d'arrondi : méthode CESTAC
English
1. Estimation de l'influence des erreurs d'arrondi et des incertitudes des données
Lorsqu'un programme scientifique est exécuté sur ordinateur, les calculs sont effectués en arithmétique en virgule flottante à l'aide de données généralement entachées, soit d'erreur d'arrondi (erreurs dues à l'opérateur d'affectation), soit d'incertitudes dues aux appareils de mesures physiques (capteurs).
Les résultats fournis par l'ordinateur sont donc toujours entachés des erreurs issues de la propagation des erreurs d'arrondi et de l'influence des incertitudes des données. Il est donc toujours nécessaire d'estimer ici, et non de majorer, l'influence de ces erreurs sur tous les résultats du programme et, donc, de l'algorithme mis en œuvre.
En d'autres termes, l'utilisateur doit connaître le nombre de chiffres décimaux significatifs exacts des résultats fournis par l'ordinateur.
Soit
, le résultat exact d'un calcul numérique, et
, le résultat informatique de ce même calcul fourni par l'ordinateur,
étant l'ensemble des nombres représentables en virgule flottante. Intuitivement, le nombre de chiffres décimaux significatifs exacts de R est le nombre de chiffres décimaux communs à r et à R. Il est défini par :
Cette formule traduit le fait que, si l'erreur relative entre R et r est de l'ordre de 10–k...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BREZINSKI (C.) - Méthodes numériques de base – Analyse numérique. - [AF 1 220] (2006).
-
(2) - LA PORTE (M.), VIGNES (J.) - Algorithmes numériques, analyse et mise en œuvre. - Éds Technip, Paris, vol.1 et 2 (1974 et 1980).
-
(3) - PICHAT (M.), VIGNES (J.) - Ingénierie du contrôle de la précision des calculs sur ordinateur. - Éd. Technip, Paris (1993).
-
(4) - MULLER (J.M.) - L'arithmétique des ordinateurs, - Masson, 1989.
-
(5) - GAO/Imtec-92-26 - Patriot missile Defense. - Software problems led to failure at Dahran Arabia (1992).
-
(6) - RUMP (S.M.) - How reliable are results of computers ? - Jahrbuch Uberliche Mathematik (1983).
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...
NORMES
-
Floating-point arithmetic - IEEE 754 - 01-08
1.1 Sites web où les logiciels cités sont disponibles
Liste non exhaustive.
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