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RÉSUMÉ
Pour résoudre les problèmes dans lesquels apparaissent les opérateurs linéaires, il est nécessaire de les simplifier. Dans ce but, on utilise le principe de la théorie spectrale, qui permet d'obtenir des formes réduites en décomposant les opérateurs linéaires en une collection d'opérateurs élémentaires. En dimension finie (cas des matrices), cela revient à la décomposition de l’opérateur en la somme d’opérateurs de multiplication et d’un opérateur nilpotent (formes réduites analogues aux formes canoniques de Jordan). Dans le cas des espaces de dimension infinie, la théorie spectrale est également utilisée pour l’étude d’équations, qu’elles soient intégrales ou aux dérivées partielles.
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Marc LENOIR : Directeur de recherche au CNRS, École nationale supérieure des techniques avancées
INTRODUCTION
L’objectif de la théorie spectrale, consiste à élucider la structure des opérateurs linéaires de manière à ce qu’ils puissent être décomposés en une collection d’opérateurs élémentaires, simplifiant ainsi la résolution des problèmes dans lesquels ils interviennent. Ce programme peut être réalisé avec un succès variable selon la situation ; dans le cas des matrices, ou autrement dit en dimension finie, des méthodes de nature algébrique portant en fait sur des polynômes, permettent d’aboutir à la forme de Jordan, qui traduit la décomposition de l’opérateur en la somme d’opérateurs de multiplication et d’un opérateur nilpotent. Le cas idéal est celui des matrices symétriques ou auto-adjointes dans lequel l’opérateur nilpotent est nécessairement nul, ce qui confère à la matrice une structure diagonale dans une base de vecteurs propres. Une abondante et complexe littérature traite des aspects numériques de la décomposition spectrale des matrices de grande taille et témoigne du fait que des résultats théoriques simples et bien connus ne sont pas nécessairement aisés à mettre en œuvre dans la pratique (cf. l’article calcul des valeurs propres dans la même collection).
Un pas décisif a été franchi lorsque la théorie spectrale a été appliquée à l’étude d’équations, qu’elles soient intégrales ou aux dérivées partielles, dans des espaces de dimension infinie. Les premiers résultats, relatifs à l’étude des équations intégrales, ont été obtenus par Fredholm puis Hilbert, et généralisés par F. Riesz en une théorie des opérateurs compacts. Ses résultats dépendent d’outils issus de l’analyse fonctionnelle, mais sont proches à beaucoup d’égards de ceux de la dimension finie, il n’en est pas de même de leur généralisation par Stone aux opérateurs auto-adjoints non compacts, qui fait jouer à la théorie de la mesure un rôle essentiel. Une partie importante des développements ultérieurs, relatifs aux opérateurs non bornés et aux algèbres d’opérateurs, résulte des travaux de von Neumann et a été initiée sous l’impulsion de la mécanique quantique.
Dans cet article ne sont abordés qu’une présentation générale des opérateurs bornés et certains aspects de la théorie spectrale des opérateurs compacts.
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Réduction spectrale des opérateurs compacts normaux
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3. Opérateurs compacts
3.1 Introduction
Par définition, un opérateur compact transforme la boule unité en un ensemble relativement compact, c’est-à-dire d’adhérence compacte ; en vertu du théorème de Bolzano-Weierstraβ, c’est encore dire que de l’image de toute suite bornée, on peut extraire une sous-suite convergente. Les propriétés spécifiques aux opérateurs compacts reposent sur le résultat suivant : un espace de Banach X est de dimension finie si et seulement si sa boule unité est compacte, on dit encore que X est localement compact. La proximité entre opérateurs compacts et opérateurs agissant sur des espaces de dimension finie n’est donc pas surprenante.
Remarquons, qu’un opérateur compact S transforme une suite faiblement convergente en suite fortement convergente, en effet d’après le théorème de Banach-Steinhaus, une suite xn faiblement convergente est bornée, la simple considération du transposé de S montre que l’image de xn converge faiblement, et de la compacité de S découle le fait que cette limite faible est en fait une limite forte.
HAUT DE PAGE
Les opérateurs compacts les plus simples sont les opérateurs de rang fini, c’est-à-dire dont l’image est de dimension finie. L’ensemble
des opérateurs de rang fini, n’est pas fermé, mais son adhérence est incluse dans l’ensemble
des opérateurs compacts : la limite de toute suite convergente d’opérateurs de rang fini est un opérateur compact. La question s’est longtemps posée de savoir si la réciproque est vraie, et c’est Enflo en 1973 qui a fourni le premier contre-exemple d’un espace de Banach dans lequel certains opérateurs compacts ne sont pas...
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Opérateurs compacts
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle - Masson (1983).
-
(2) - ARVESON (W.) - A Short Course on Spectral Theory - Springer-Verlag (2002).
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(3) - DEBARRE (O.) - Réduction des endomorphismes - Préparation à l’agrégation Université Louis Pasteur Strasbourg
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(4) - CONWAY (J.B.) - Functions of One Complex variable I - Springer-Verlag (1986).
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(5) - KATO (T.) - Perturbation Theory for Linear Operators - Springer-Verlag (1980).
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(6) - PEDERSEN (G.K.) - Analysis Now - Springer-Verlag (1989).
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(7) - CONNES (A.) - Géométrie...
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