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RÉSUMÉ
Pour résoudre les problèmes dans lesquels apparaissent les opérateurs linéaires, il est nécessaire de les simplifier. Dans ce but, on utilise le principe de la théorie spectrale, qui permet d'obtenir des formes réduites en décomposant les opérateurs linéaires en une collection d'opérateurs élémentaires. En dimension finie (cas des matrices), cela revient à la décomposition de l’opérateur en la somme d’opérateurs de multiplication et d’un opérateur nilpotent (formes réduites analogues aux formes canoniques de Jordan). Dans le cas des espaces de dimension infinie, la théorie spectrale est également utilisée pour l’étude d’équations, qu’elles soient intégrales ou aux dérivées partielles.
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Marc LENOIR : Directeur de recherche au CNRS, École nationale supérieure des techniques avancées
INTRODUCTION
L’objectif de la théorie spectrale, consiste à élucider la structure des opérateurs linéaires de manière à ce qu’ils puissent être décomposés en une collection d’opérateurs élémentaires, simplifiant ainsi la résolution des problèmes dans lesquels ils interviennent. Ce programme peut être réalisé avec un succès variable selon la situation ; dans le cas des matrices, ou autrement dit en dimension finie, des méthodes de nature algébrique portant en fait sur des polynômes, permettent d’aboutir à la forme de Jordan, qui traduit la décomposition de l’opérateur en la somme d’opérateurs de multiplication et d’un opérateur nilpotent. Le cas idéal est celui des matrices symétriques ou auto-adjointes dans lequel l’opérateur nilpotent est nécessairement nul, ce qui confère à la matrice une structure diagonale dans une base de vecteurs propres. Une abondante et complexe littérature traite des aspects numériques de la décomposition spectrale des matrices de grande taille et témoigne du fait que des résultats théoriques simples et bien connus ne sont pas nécessairement aisés à mettre en œuvre dans la pratique (cf. l’article calcul des valeurs propres dans la même collection).
Un pas décisif a été franchi lorsque la théorie spectrale a été appliquée à l’étude d’équations, qu’elles soient intégrales ou aux dérivées partielles, dans des espaces de dimension infinie. Les premiers résultats, relatifs à l’étude des équations intégrales, ont été obtenus par Fredholm puis Hilbert, et généralisés par F. Riesz en une théorie des opérateurs compacts. Ses résultats dépendent d’outils issus de l’analyse fonctionnelle, mais sont proches à beaucoup d’égards de ceux de la dimension finie, il n’en est pas de même de leur généralisation par Stone aux opérateurs auto-adjoints non compacts, qui fait jouer à la théorie de la mesure un rôle essentiel. Une partie importante des développements ultérieurs, relatifs aux opérateurs non bornés et aux algèbres d’opérateurs, résulte des travaux de von Neumann et a été initiée sous l’impulsion de la mécanique quantique.
Dans cet article ne sont abordés qu’une présentation générale des opérateurs bornés et certains aspects de la théorie spectrale des opérateurs compacts.
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Opérateurs compacts
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2. La dimension finie
2.1 Le théorème du rang et ses conséquences
Le résultat essentiel en dimension finie est le théorème du rang :
. La démonstration consiste à compléter une base de
en une base {e 1…, ep …, en } de X et à démontrer que le système des T(ei ), i = p + 1, n qui est générateur dans
, est également libre. Il en résulte en particulier qu'en dimension finie, injectivité et surjectivité sont équivalents pour un opérateur linéaire et par conséquent, que le spectre est uniquement formé des valeurs propres. Comme des vecteurs propres associés à des valeurs propres différentes sont linéairement indépendants, le nombre de valeurs propres est nécessairement inférieur ou égal à la dimension de X, et le rayon spectral égal au module de la valeur propre de plus grand module.
Notons maintenant que si M est un sous-espace invariant par T et ρ(T ) = 0, alors en vertu de la formule du rayon spectral,
...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle - Masson (1983).
-
(2) - ARVESON (W.) - A Short Course on Spectral Theory - Springer-Verlag (2002).
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(3) - DEBARRE (O.) - Réduction des endomorphismes - Préparation à l’agrégation Université Louis Pasteur Strasbourg
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(4) - CONWAY (J.B.) - Functions of One Complex variable I - Springer-Verlag (1986).
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(5) - KATO (T.) - Perturbation Theory for Linear Operators - Springer-Verlag (1980).
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(6) - PEDERSEN (G.K.) - Analysis Now - Springer-Verlag (1989).
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(7) - CONNES (A.) - Géométrie...
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