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RÉSUMÉ
Pour résoudre les problèmes dans lesquels apparaissent les opérateurs linéaires, il est nécessaire de les simplifier. Dans ce but, on utilise le principe de la théorie spectrale, qui permet d'obtenir des formes réduites en décomposant les opérateurs linéaires en une collection d'opérateurs élémentaires. En dimension finie (cas des matrices), cela revient à la décomposition de l’opérateur en la somme d’opérateurs de multiplication et d’un opérateur nilpotent (formes réduites analogues aux formes canoniques de Jordan). Dans le cas des espaces de dimension infinie, la théorie spectrale est également utilisée pour l’étude d’équations, qu’elles soient intégrales ou aux dérivées partielles.
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In order to solve the problems in which linear operators appear, they must be simplified. In order to achieve this, the principle of the spectral theory is used, as it allows for obtaining reduced forms by decomposing the linear operators into a collection of elementary operators. In the finite dimension (in the case of matrices), this consists in decomposing the operator into the sum of multiplication operators and one nilpotent operator (reduced forms analogous to the Jordan canonical forms). In the case of infinite dimensional spaces, the spectral theory is also used in order to analyze equations, be they integral or partial differential equations.
Auteur(s)
-
Marc LENOIR : Directeur de recherche au CNRS, École nationale supérieure des techniques avancées
INTRODUCTION
L’objectif de la théorie spectrale, consiste à élucider la structure des opérateurs linéaires de manière à ce qu’ils puissent être décomposés en une collection d’opérateurs élémentaires, simplifiant ainsi la résolution des problèmes dans lesquels ils interviennent. Ce programme peut être réalisé avec un succès variable selon la situation ; dans le cas des matrices, ou autrement dit en dimension finie, des méthodes de nature algébrique portant en fait sur des polynômes, permettent d’aboutir à la forme de Jordan, qui traduit la décomposition de l’opérateur en la somme d’opérateurs de multiplication et d’un opérateur nilpotent. Le cas idéal est celui des matrices symétriques ou auto-adjointes dans lequel l’opérateur nilpotent est nécessairement nul, ce qui confère à la matrice une structure diagonale dans une base de vecteurs propres. Une abondante et complexe littérature traite des aspects numériques de la décomposition spectrale des matrices de grande taille et témoigne du fait que des résultats théoriques simples et bien connus ne sont pas nécessairement aisés à mettre en œuvre dans la pratique (cf. l’article calcul des valeurs propres dans la même collection).
Un pas décisif a été franchi lorsque la théorie spectrale a été appliquée à l’étude d’équations, qu’elles soient intégrales ou aux dérivées partielles, dans des espaces de dimension infinie. Les premiers résultats, relatifs à l’étude des équations intégrales, ont été obtenus par Fredholm puis Hilbert, et généralisés par F. Riesz en une théorie des opérateurs compacts. Ses résultats dépendent d’outils issus de l’analyse fonctionnelle, mais sont proches à beaucoup d’égards de ceux de la dimension finie, il n’en est pas de même de leur généralisation par Stone aux opérateurs auto-adjoints non compacts, qui fait jouer à la théorie de la mesure un rôle essentiel. Une partie importante des développements ultérieurs, relatifs aux opérateurs non bornés et aux algèbres d’opérateurs, résulte des travaux de von Neumann et a été initiée sous l’impulsion de la mécanique quantique.
Dans cet article ne sont abordés qu’une présentation générale des opérateurs bornés et certains aspects de la théorie spectrale des opérateurs compacts.
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7. Les guides fermés
L’étude des guides d’ondes constitue l’un des champs d’application de la théorie spectrale. Nous nous limiterons au cas des guides fermés de façon à rester dans le cadre des opérateurs bornés et nous nous contenterons du cas bidimensionnel qui permet des calculs explicites, mais dont les conclusions restent essentiellement valables en dimension supérieure.
Considérons le cas d’un guide acoustique : les bords du guide σ0 et σh sont formés des droites horizontales d’ordonnées respectives y = 0 et y = h. Un obstacle borné de frontière Γ situé entre ces deux droites diffracte les ondes acoustiques qui se propagent dans le guide. Le domaine Ω est compris entre les parois du guide et l’obstacle ; le potentiel de perturbation vérifie l’équation de Hemlholtz, ainsi que des conditions naturelles sur les frontières, homogènes aux bords du guide.
7.1 Les modes
Le problème aux valeurs propres
a pour solutions
; on aura donc :
où Σx note le segment vertical d’abscisse x et d’extrémités y = 0 et y = h. La base des en diagonalise la partie verticale du laplacien, d’où l’équation :
avec
et par conséquent
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle - Masson (1983).
-
(2) - ARVESON (W.) - A Short Course on Spectral Theory - Springer-Verlag (2002).
-
(3) - DEBARRE (O.) - Réduction des endomorphismes - Préparation à l’agrégation Université Louis Pasteur Strasbourg
-
(4) - CONWAY (J.B.) - Functions of One Complex variable I - Springer-Verlag (1986).
-
(5) - KATO (T.) - Perturbation Theory for Linear Operators - Springer-Verlag (1980).
-
(6) - PEDERSEN (G.K.) - Analysis Now - Springer-Verlag (1989).
-
(7) - CONNES (A.) - Géométrie...
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