But des méthodes
Méthodes de Krylov pour la résolution des systèmes linéaires

On s’intéresse à la résolution de systèmes linéaires Ax = b avec des matrices A non singulières creuses (c’est-à-dire comportant beaucoup de zéros) de grande dimension. On doit résoudre de tels systèmes, par exemple, lorsque l’on discrétise des (systèmes d’) équations aux dérivées partielles par des méthodes de différences finies ou d’éléments finis. On obtient des systèmes linéaires dont la matrice comporte peu d’éléments non nuls par ligne, pour lesquels il est utile d’utiliser des techniques particulières qui permettent de ne stocker que les éléments non nuls de la matrice et des pointeurs qui permettent de retrouver facilement les indices de ligne et de colonne des éléments et de parcourir les lignes et/ou les colonnes (cf.  ).

On considère ici des méthodes itératives modernes pour résoudre des systèmes Ax = b où la matrice A (d’ordre n) et le second membre sont donnés. Les matrices considérées possèdent des éléments réels mais la plupart des méthodes exposées s’étendent facilement à des matrices ayant des éléments complexes.

En partant d’un vecteur initial donné x ⁰, on construit une suite de vecteurs x ^k , en faisant en sorte que x ^k converge vers la solution x du système linéaire lorsque k → ∞. La plupart des méthodes en usage aujourd’hui appartiennent à une classe appelée « méthodes de Krylov ». Elles sont basées sur des principes d’orthogonalisation ou de minimisation. De nombreuses méthodes ont été proposées durant les vingt-cinq dernières années. La plupart ne sont que des variantes des méthodes de base. Dans la suite,...