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En anglais
RÉSUMÉ
Les méthodes de Krylov pour la résolution des systèmes linéaires sont généralement utilisées en liaison avec un préconditionneur qui permet d’accélérer la convergence. Elles ne requièrent que des multiplications de la matrice du système par un vecteur, des produits scalaires et des additions de vecteurs. Cet article propose une explication des méthodes et de leur principal but. Les méthodes de Krylov sont ensuite analysées en profondeur : construction de la base, méthodes GMRES et FOM, gradient conjugué, méthodes BiCG et BiCGstab ou méthode QMR. Un exemple de méthodes clôture l’article.
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Krylov methods for solving linear systems are generally used with a preconditioner which accelerates the convergence. They only require matrix multiplication by a vector, scalar products and vector additions. This article explains these methods and their different aims. An in-depth analysis of the Krylov methods is then provided: construction of the basis, GMRES and FOM methods, conjugate gradient, BiCG and BiCGstab or QMR methods. An example of methods concludes this article.
Auteur(s)
-
Gérard MEURANT : CEA/DIF (Bruyères le Chatel)
INTRODUCTION
Ce dossier expose l’état de l’art pour résoudre des grands systèmes linéaires creux avec des méthodes itératives de Krylov. Ces méthodes ne requièrent que des multiplications de la matrice du système par un vecteur, des produits scalaires et des additions de vecteurs. Elles sont généralement utilisées en liaison avec un préconditionneur qui permet d’accélérer la convergence.
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Présentation
Méthodes de Krylov
En anglais
1. But des méthodes
On s’intéresse à la résolution de systèmes linéaires Ax = b avec des matrices A non singulières creuses (c’est-à-dire comportant beaucoup de zéros) de grande dimension. On doit résoudre de tels systèmes, par exemple, lorsque l’on discrétise des (systèmes d’) équations aux dérivées partielles par des méthodes de différences finies ou d’éléments finis. On obtient des systèmes linéaires dont la matrice comporte peu d’éléments non nuls par ligne, pour lesquels il est utile d’utiliser des techniques particulières qui permettent de ne stocker que les éléments non nuls de la matrice et des pointeurs qui permettent de retrouver facilement les indices de ligne et de colonne des éléments et de parcourir les lignes et/ou les colonnes (cf. ).
On considère ici des méthodes itératives modernes pour résoudre des systèmes Ax = b où la matrice A (d’ordre n) et le second membre sont donnés. Les matrices considérées possèdent des éléments réels mais la plupart des méthodes exposées s’étendent facilement à des matrices ayant des éléments complexes.
En partant d’un vecteur initial donné x 0, on construit une suite de vecteurs x k , en faisant en sorte que x k converge vers la solution x du système linéaire lorsque k → ∞. La plupart des méthodes en usage aujourd’hui appartiennent à une classe appelée « méthodes de Krylov ». Elles sont basées sur des principes d’orthogonalisation ou de minimisation. De nombreuses méthodes ont été proposées durant les vingt-cinq dernières années. La plupart ne sont que des variantes des méthodes de base. Dans la suite,...
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But des méthodes
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BARRETT (R.), BERRY (M.), CHAN (T.F.), DEMMEL (J.), DONATO (J.), DONGARRA (J.), EIJKHOUT (V.), POZO (R.), ROMINE (C.), VAN DER VORST (H.V.) - Templates for the solution of linear systems : building blocks for iterative methods. - SIAM (1994).
-
(2) - FISCHER (B.) - Polynomial based iteration methods for symmetric linear systems. - Wiley Teubner (1996).
-
(3) - FREUND (R.W.), NACHTIGAL (N.M.) - QMR : a quasi-minimal residual method for non Hermitian linear systems. - Numer. Math., vol. 60, p. 315-339 (1991).
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(4) - GOLUB (G.H.), VAN LOAN (C.) - Matrix computations. - Johns Hopkins University Press (1989).
-
(5) - GREENBAUM (A.) - Iterative methods for solving linear equations. - SIAM (1997).
-
(6) - HESTENES (M.R.), STIEFEL (E.) - Methods of conjugate gradients for solving linear systems. - J. Nat. Bur. Stand.,...
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