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En anglais
RÉSUMÉ
Les méthodes de Krylov pour la résolution des systèmes linéaires sont généralement utilisées en liaison avec un préconditionneur qui permet d’accélérer la convergence. Elles ne requièrent que des multiplications de la matrice du système par un vecteur, des produits scalaires et des additions de vecteurs. Cet article propose une explication des méthodes et de leur principal but. Les méthodes de Krylov sont ensuite analysées en profondeur : construction de la base, méthodes GMRES et FOM, gradient conjugué, méthodes BiCG et BiCGstab ou méthode QMR. Un exemple de méthodes clôture l’article.
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Krylov methods for solving linear systems are generally used with a preconditioner which accelerates the convergence. They only require matrix multiplication by a vector, scalar products and vector additions. This article explains these methods and their different aims. An in-depth analysis of the Krylov methods is then provided: construction of the basis, GMRES and FOM methods, conjugate gradient, BiCG and BiCGstab or QMR methods. An example of methods concludes this article.
Auteur(s)
-
Gérard MEURANT : CEA/DIF (Bruyères le Chatel)
INTRODUCTION
Ce dossier expose l’état de l’art pour résoudre des grands systèmes linéaires creux avec des méthodes itératives de Krylov. Ces méthodes ne requièrent que des multiplications de la matrice du système par un vecteur, des produits scalaires et des additions de vecteurs. Elles sont généralement utilisées en liaison avec un préconditionneur qui permet d’accélérer la convergence.
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But des méthodes
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3. Exemple
La matrice A non symétrique d’ordre 3m 2 est pentadiagonale par blocs et dépend de cinq paramètres α, δ, µ, ω et σ. Les blocs diagonaux sont des matrices 3 × 3 :
Les blocs sous-diagonaux sont égaux à :
Les autres blocs non nuls sont égaux à – αI . Si l’on considère les indices des blocs, pour le bloc J les blocs non nuls (lorsqu’ils existent) sont situés aux positions J – m, J – 1, J, J + 1, J + m.
Les paramètres choisis sont m = 10, ce qui donne un système d’ordre 300 et α = 1, µ = 0,1, ω = 0,2, σ = 0,3, δ = 10. Le vecteur de départ est le vecteur nul et le second membre composé de nombres aléatoires. Le critère d’arrêt est :
La figure 1 montre la convergence de GMRES(m ) en fonction du nombre d’itérations pour m = 300, 50, 20, 10. GMRES(300) correspond, dans ce cas, à GMRES sans redémarrage. Il faut cependant noter que, bien que le nombre d’itérations soit plus élevé pour GMRES(50), etc., le coût par itération est inférieur lorsque m décroît, ainsi il est possible que le coût de ces méthodes soit plus faible que pour GMRES(300).
Sur la figure 2, on voit la norme du résidu en fonction du nombre d’itérations de...
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Exemple
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BARRETT (R.), BERRY (M.), CHAN (T.F.), DEMMEL (J.), DONATO (J.), DONGARRA (J.), EIJKHOUT (V.), POZO (R.), ROMINE (C.), VAN DER VORST (H.V.) - Templates for the solution of linear systems : building blocks for iterative methods. - SIAM (1994).
-
(2) - FISCHER (B.) - Polynomial based iteration methods for symmetric linear systems. - Wiley Teubner (1996).
-
(3) - FREUND (R.W.), NACHTIGAL (N.M.) - QMR : a quasi-minimal residual method for non Hermitian linear systems. - Numer. Math., vol. 60, p. 315-339 (1991).
-
(4) - GOLUB (G.H.), VAN LOAN (C.) - Matrix computations. - Johns Hopkins University Press (1989).
-
(5) - GREENBAUM (A.) - Iterative methods for solving linear equations. - SIAM (1997).
-
(6) - HESTENES (M.R.), STIEFEL (E.) - Methods of conjugate gradients for solving linear systems. - J. Nat. Bur. Stand.,...
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