Bibliographie & annexes
Quiz & test
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Les méthodes de Krylov pour la résolution des systèmes linéaires sont généralement utilisées en liaison avec un préconditionneur qui permet d’accélérer la convergence. Elles ne requièrent que des multiplications de la matrice du système par un vecteur, des produits scalaires et des additions de vecteurs. Cet article propose une explication des méthodes et de leur principal but. Les méthodes de Krylov sont ensuite analysées en profondeur : construction de la base, méthodes GMRES et FOM, gradient conjugué, méthodes BiCG et BiCGstab ou méthode QMR. Un exemple de méthodes clôture l’article.
Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.
Lire l’articleABSTRACT
Krylov methods for solving linear systems are generally used with a preconditioner which accelerates the convergence. They only require matrix multiplication by a vector, scalar products and vector additions. This article explains these methods and their different aims. An in-depth analysis of the Krylov methods is then provided: construction of the basis, GMRES and FOM methods, conjugate gradient, BiCG and BiCGstab or QMR methods. An example of methods concludes this article.
Auteur(s)
-
Gérard MEURANT : CEA/DIF (Bruyères le Chatel)
INTRODUCTION
Ce dossier expose l’état de l’art pour résoudre des grands systèmes linéaires creux avec des méthodes itératives de Krylov. Ces méthodes ne requièrent que des multiplications de la matrice du système par un vecteur, des produits scalaires et des additions de vecteurs. Elles sont généralement utilisées en liaison avec un préconditionneur qui permet d’accélérer la convergence.
L'expertise technique et scientifique de référence
DOI (Digital Object Identifier)
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(166 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
Présentation
Exemple
En anglais
2. Méthodes de Krylov
2.1 Construction de la base
Toutes ces méthodes démarrent d’un vecteur initial donné x 0 ayant n composantes. En général, on choisit x 0 = 0 ou bien un vecteur ayant des composantes aléatoires. Le résidu initial r 0 est défini par r 0 = b – Ax 0. L’espace de Krylov d’ordre k construit sur A et r 0 et noté
(A, r 0) est défini comme l’espace engendré par les vecteurs :
Aleksei N. Krylov était un mathématicien et ingénieur russe qui a vécu de 1863 à 1945. Les espaces qu’il a utilisés pour des calculs de valeurs propres sont associés à son nom, mais les méthodes « dites de Krylov », en particulier pour les systèmes non symétriques, ont été découvertes beaucoup plus tard.
On cherche les itérés x k dans l’espace x 0 +
(A, r 0).
Si V k est une matrice dont les colonnes sont des vecteurs v j (j = 1, ..., k ) qui constituent une base de l’espace de Krylov
, on peut écrire :
et le problème se réduit à construire les vecteurs v j de façon incrémentale et à savoir comment calculer le vecteur z k comportant k composantes définissant la combinaison linéaire des vecteurs de base.
Il existe deux types de méthodes...
L'expertise technique et scientifique de référence
TEST DE VALIDATION ET CERTIFICATION CerT.I. :
Cet article vous permet de préparer une certification CerT.I.
Le test de validation des connaissances pour obtenir cette certification de Techniques de l’Ingénieur est disponible dans le module CerT.I.
de Techniques de l’Ingénieur ! Acheter le module
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(166 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
Méthodes de Krylov
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BARRETT (R.), BERRY (M.), CHAN (T.F.), DEMMEL (J.), DONATO (J.), DONGARRA (J.), EIJKHOUT (V.), POZO (R.), ROMINE (C.), VAN DER VORST (H.V.) - Templates for the solution of linear systems : building blocks for iterative methods. - SIAM (1994).
-
(2) - FISCHER (B.) - Polynomial based iteration methods for symmetric linear systems. - Wiley Teubner (1996).
-
(3) - FREUND (R.W.), NACHTIGAL (N.M.) - QMR : a quasi-minimal residual method for non Hermitian linear systems. - Numer. Math., vol. 60, p. 315-339 (1991).
-
(4) - GOLUB (G.H.), VAN LOAN (C.) - Matrix computations. - Johns Hopkins University Press (1989).
-
(5) - GREENBAUM (A.) - Iterative methods for solving linear equations. - SIAM (1997).
-
(6) - HESTENES (M.R.), STIEFEL (E.) - Methods of conjugate gradients for solving linear systems. - J. Nat. Bur. Stand.,...
L'expertise technique et scientifique de référence
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(166 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
QUIZ ET TEST DE VALIDATION PRÉSENTS DANS CET ARTICLE
1/ Quiz d'entraînement
Entraînez vous autant que vous le voulez avec les quiz d'entraînement.
2/ Test de validation
Lorsque vous êtes prêt, vous passez le test de validation. Vous avez deux passages possibles dans un laps de temps de 30 jours.
Entre les deux essais, vous pouvez consulter l’article et réutiliser les quiz d'entraînement pour progresser. L’attestation vous est délivrée pour un score minimum de 70 %.
L'expertise technique et scientifique de référence
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(166 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
