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Auteur(s)
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Albert COHEN : Université Pierre-et-Marie-Curie, Laboratoire d’analyse numérique, Paris
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Lire l’articleINTRODUCTION
Apparues au début des années 1980, tout en prenant leur source dans des travaux plus anciens, les ondelettes s’imposent aujourd’hui comme des outils puissants en analyse mathématique et dans des domaines plus appliqués tels que le traitement du signal et de l’image, ou encore la simulation numérique. Cet article vise à introduire le lecteur à ces outils et à leur mise en œuvre pratique dans la perspective de ces applications.
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Le cadre multirésolution
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3. Un exemple fondamental
Du point de vue mathématique, la représentation naturelle d’une image est une fonction f (x, y ) représentant l’intensité lumineuse, comprise entre 0 (noir) et 1 (blanc), au point (x, y ) du « cadre » [0, 1] × [0, 1]. Dans un contexte numérique, l’image est donnée sous forme discrétisée sur une grille de pixels, c’est-à-dire sous la forme d’un tableau f (k x , k y ). Une telle image est visualisée sur la figure 3 pour une discrétisation sur une grille de 512 × 512 pixels.
Une idée particulièrement fructueuse en traitement numérique de l’image est que l’information visuelle est hiérarchisée à travers les échelles. Ainsi, en partant d’une image discrétisée, on peut considérer ses approximations obtenues en moyennant successivement l’intensité lumineuse sur des carrés de 2 × 2 pixels puis 4 × 4, 8 × 8, etc., ainsi que le visualise la figure 4. De telles approximations sont « hiérarchisées » au sens où l’on peut déduire l’image approchée à une certaine résolution à partir de la résolution précédente, deux fois plus fine. La différence entre deux approximations à des résolutions successives peut se concevoir comme les fluctuations ou « détails » de l’image à la résolution correspondante. Un point de vue intuitif, déjà développé dans les travaux visionnaires de D. Marr , est alors qu’il existe une certaine décorrélation entre les détails aux différentes résolutions, chacun d’entre eux représentant des phénomènes relativement indépendants dans le processus de construction de l’image. Dès lors, il devient intéressant de représenter l’image sous la forme d’une décomposition multiéchelle, constituée de son approximation à une résolution grossière et des détails aux échelles intermédiaires permettant de la...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - DAUBECHIES (I.) - Ten Lectures on Wavelets. - SIAM, Philadelphie (1992).
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(2) - MEYER (Y.) - Ondelettes. Algorithmes et Applications. - Armand Colin, Paris (1992).
-
(3) - GASQUET (Y.), WITOMSKI (P.) - Analyse de Fourier et applications au traitement du signal. - Masson, Paris.
-
(4) - MARR (D.) - Vision. - Freeman, New York (1982).
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(5) - MALLAT (S.) - A wavelet tour of signal processing. - Academic Press, New York (1998).
-
(6) - DAUBECHIES (I.) - Orthonormal bases of compactly supported wavelets. - Comm. Pure and Appl. Math. 41, 909-996 (1988).
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(7) - COHEN (A.), DAUBECHIES (I.), FEAUVEAU (J.-C.) - Biorthogonal...
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