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Auteur(s)
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Albert COHEN : Université Pierre-et-Marie-Curie, Laboratoire d’analyse numérique, Paris
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Apparues au début des années 1980, tout en prenant leur source dans des travaux plus anciens, les ondelettes s’imposent aujourd’hui comme des outils puissants en analyse mathématique et dans des domaines plus appliqués tels que le traitement du signal et de l’image, ou encore la simulation numérique. Cet article vise à introduire le lecteur à ces outils et à leur mise en œuvre pratique dans la perspective de ces applications.
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6. Ondelettes et adaptativité
Nous avons déjà observé, dans le cas du système de Haar, que les représentations en ondelettes possèdent des propriétés d’adaptativité locale qui se reflètent dans les approximations obtenues par seuillage des coefficients. Ces propriétés jouent un rôle central dans les applications les plus pertinentes des bases d’ondelettes : en traitement d’image pour la compression et le débruitage, et en simulation numérique adaptative. Un point commun de ces applications est le rôle central joué par la théorie de l’approximation non-linéaire dans l’analyse mathématique et l’optimisation des méthodes de transformation en ondelettes. Nous commencerons donc par évoquer cette théorie avant de nous pencher sur les applications.
6.1 L’approximation non-linéaire
La théorie de l’approximation joue un rôle central dans l’analyse de précision pour des applications aussi variées que l’interpolation et le lissage de données expérimentales, l’estimation statistique, la discrétisation des équations aux dérivées partielles, etc. De façon générale, la théorie de l’approximation étudie la possibi- lité d’approcher des fonctions arbitraires par des fonctions simples — polynômes, séries trigonométriques, éléments finis — pouvant être décrites par un nombre fini de paramètres. Le problème central est alors l’étude du compromis entre le nombre de paramètres utilisés et l’erreur d’approximation commise.
Dans le paragraphe 3.3, nous avons fait la distinction entre l’approximation uniforme produite par la projection linéaire f → Pj f sur l’espace Vj et l’approximation adaptative produite par l’opérateur de seuillage non-linéaire f → Sε f. Nous allons comparer de plus près ces approximations, en particulier du point de vue du compromis ci-dessus.
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - DAUBECHIES (I.) - Ten Lectures on Wavelets. - SIAM, Philadelphie (1992).
-
(2) - MEYER (Y.) - Ondelettes. Algorithmes et Applications. - Armand Colin, Paris (1992).
-
(3) - GASQUET (Y.), WITOMSKI (P.) - Analyse de Fourier et applications au traitement du signal. - Masson, Paris.
-
(4) - MARR (D.) - Vision. - Freeman, New York (1982).
-
(5) - MALLAT (S.) - A wavelet tour of signal processing. - Academic Press, New York (1998).
-
(6) - DAUBECHIES (I.) - Orthonormal bases of compactly supported wavelets. - Comm. Pure and Appl. Math. 41, 909-996 (1988).
-
(7) - COHEN (A.), DAUBECHIES (I.), FEAUVEAU (J.-C.) - Biorthogonal...
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