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Auteur(s)
-
Albert COHEN : Université Pierre-et-Marie-Curie, Laboratoire d’analyse numérique, Paris
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Lire l’articleINTRODUCTION
Apparues au début des années 1980, tout en prenant leur source dans des travaux plus anciens, les ondelettes s’imposent aujourd’hui comme des outils puissants en analyse mathématique et dans des domaines plus appliqués tels que le traitement du signal et de l’image, ou encore la simulation numérique. Cet article vise à introduire le lecteur à ces outils et à leur mise en œuvre pratique dans la perspective de ces applications.
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Les ondelettes généralisées
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4. Le cadre multirésolution
En 1986, S. Mallat et Y. Meyer proposent de systématiser l’approche suivie dans la construction du système de Haar pour obtenir des bases d’ondelettes ayant de meilleures propriétés. L’idée essentielle est ici la notion d’approximation hiérarchisée généralisant les espaces Vj du paragraphe 3.4.
4.1 Les analyses multirésolutions
De façon générale, une analyse multirésolution désigne une suite emboîtée d’espaces d’approximation Vj Ì Vj + 1 Ì ..., l’entier j étant associé à la résolution 2 – j au sens où Vj est engendré par une base du type :
La fonction ϕ est appelée fonction d’échelle.
Dans le cas des espaces de fonctions constantes par morceaux associées au système de Haar, nous avons vu que ϕ est tout simplement donnée par ϕ (t ) = 1 sur [0,1] et 0 ailleurs. Notons que l’entier k parcourt ici l’ensemble
tout entier, ce qui signifie que l’on s’intéresse à l’approximation de fonctions définies sur l’ensemble de la droite réelle. On exige en outre que ces espaces aient des propriétés d’approximation, c’est-à-dire permettent d’approcher aussi finement qu’on le souhaite des fonctions arbitraires lorsque le niveau de résolution j tend vers + ∞, ce que l’on exprime par l’axiome suivant : si f est une fonction de
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Le cadre multirésolution
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - DAUBECHIES (I.) - Ten Lectures on Wavelets. - SIAM, Philadelphie (1992).
-
(2) - MEYER (Y.) - Ondelettes. Algorithmes et Applications. - Armand Colin, Paris (1992).
-
(3) - GASQUET (Y.), WITOMSKI (P.) - Analyse de Fourier et applications au traitement du signal. - Masson, Paris.
-
(4) - MARR (D.) - Vision. - Freeman, New York (1982).
-
(5) - MALLAT (S.) - A wavelet tour of signal processing. - Academic Press, New York (1998).
-
(6) - DAUBECHIES (I.) - Orthonormal bases of compactly supported wavelets. - Comm. Pure and Appl. Math. 41, 909-996 (1988).
-
(7) - COHEN (A.), DAUBECHIES (I.), FEAUVEAU...
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