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Auteur(s)
-
Gilles GODEFROY : Directeur de recherches - au Centre national de la recherche scientifique CNRS
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Lire l’articleINTRODUCTION
Cet article constitue un préliminaire à l’analyse fonctionnelle puisqu’il s’agit de l’étude de la topologie et de la mesure. Pour cela, il faut faire connaissance avec les concepts qui éclairent la formalisation : espaces métriques, espaces complets, espaces compacts, espaces normés et espaces de Banach. Les espaces normés de dimension finie, les espaces de Hilbert et les espaces de Banach non euclidiens font l’objet de l’article suivant [AF 100].
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Espaces normés. Espaces de Banach
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4. Théorie de la mesure et intégration
Le calcul des surfaces, donc de la mesure de sous-ensembles simples du plan, est aussi ancien que l’agriculture et remonte donc aux mathématiques les plus archaïques. Les parties du plan dont l’aire est la plus facile à calculer sont les polygones ; il suffit en effet de les écrire comme réunion disjointe (aux côtés près) de triangles et de faire la somme des aires de ces triangles. Lorsque l’on doit mesurer des surfaces plus compliquées, il est naturel de les encadrer entre deux polygones « interne » et « externe » dont la différence des aires est assez petite. C’est ainsi que procède Archimède pour calculer l’aire du disque ou l’aire limitée par une parabole et une corde.Cette idée géométrique simple est à la base de la théorie de la mesure, telle que H. Lebesgue et ses émules l’ont développée à partir de 1901. Il faut attribuer une « mesure » (longueur, surface, volume...)
à une partie A de
aussi générale que possible, de façon à ce que les propriétés suivantes soient satisfaites :
-
(i)si
![]()
est un pavé ouvert de la forme
![]()
, alors :![]()
-
(ii)si A et B sont deux parties mesurables disjointes, alors :
![]()
-
(iii)si T est une isométrie de
![]()
, alors
![]()
...
est un pavé ouvert de la forme
, alors :
, alors
...
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