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Auteur(s)
-
Gilles GODEFROY : Directeur de recherches - au Centre national de la recherche scientifique CNRS
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Cet article constitue un préliminaire à l’analyse fonctionnelle puisqu’il s’agit de l’étude de la topologie et de la mesure. Pour cela, il faut faire connaissance avec les concepts qui éclairent la formalisation : espaces métriques, espaces complets, espaces compacts, espaces normés et espaces de Banach. Les espaces normés de dimension finie, les espaces de Hilbert et les espaces de Banach non euclidiens font l’objet de l’article suivant [AF 100].
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Théorie de la mesure et intégration
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3. Lemme de Baire dans les espaces métriques complets
Le lemme suivant à été montré par R. Baire, dans le cadre des espaces
, peu avant 1900. La démonstration de Baire s’étend sans peine au cas général.
Une partie D d’un espace métrique E est dense si
, ou de façon équivalente si tout ouvert non vide de E rencontre D.
Lemme 1 : soit
un espace métrique complet. Soit
une suite de sous-ensembles ouverts denses de E. Alors
est dense.
Preuve ¨
Soient
et
la boule ouverte de centre x et de rayon
. On a
. Soit
et soit
tel que :
( 2 )
On a
...
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