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En anglais
Auteur(s)
-
Gilles GODEFROY : Directeur de recherches - au Centre national de la recherche scientifique CNRS
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Lire l’articleINTRODUCTION
Cet article constitue un préliminaire à l’analyse fonctionnelle puisqu’il s’agit de l’étude de la topologie et de la mesure. Pour cela, il faut faire connaissance avec les concepts qui éclairent la formalisation : espaces métriques, espaces complets, espaces compacts, espaces normés et espaces de Banach. Les espaces normés de dimension finie, les espaces de Hilbert et les espaces de Banach non euclidiens font l’objet de l’article suivant [AF 100].
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Espaces métriques. Espaces complets
En anglais
5. Espaces normés. Espaces de Banach
En géométrie élémentaire, on définit la norme d’un vecteur comme étant égale à sa longueur. Le calcul vectoriel s’étend sans difficulté à des espaces fonctionnels très généraux et il est utile de pouvoir utiliser la notion de norme d’une fonction, d’un opérateur, d’une forme linéaire... La structure d’espace normé que nous définissons maintenant est fondamentale lorsque l’on veut appliquer à l’analyse des idées géométriques.
Définition 1 : soit E un espace vectoriel. Une norme N sur E est une application
qui vérifie les propriétés suivantes :
-
(i)
![]()
. -
(ii)
![]()
pour tout
![]()
et tout scalaire
![]()
. -
(iii)
![]()
pour tout couple
![]()
.
.
pour tout
et tout scalaire
.
pour tout couple
.Un espace normé est un couple
, où N est une norme sur E. La notation
est souvent utilisée pour désigner la norme d’un vecteur x.
Une norme N permet de définir une distance d sur E, par l’équation :
...
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