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En anglais
Auteur(s)
-
Gilles GODEFROY : Directeur de recherches - au Centre national de la recherche scientifique CNRS
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Lire l’articleINTRODUCTION
Cet article constitue un préliminaire à l’analyse fonctionnelle puisqu’il s’agit de l’étude de la topologie et de la mesure. Pour cela, il faut faire connaissance avec les concepts qui éclairent la formalisation : espaces métriques, espaces complets, espaces compacts, espaces normés et espaces de Banach. Les espaces normés de dimension finie, les espaces de Hilbert et les espaces de Banach non euclidiens font l’objet de l’article suivant [AF 100].
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Lemme de Baire dans les espaces métriques complets
En anglais
2. Espaces compacts
Une fonction bornée, définie sur un ensemble E et à valeurs réelles n’atteint pas en général ses bornes, ce qui oblige à manipuler des «
», c’est-à-dire des termes d’erreur, dans de nombreux calculs. La compacité d’un espace métrique permet d’éviter ce problème.
Définition : soit
un espace métrique. L’espace
est dit compact si lorsqu’on écrit E comme une réunion de sous-ensemble ouverts
:
Il existe une sous-famille finie
telle que :
En d’autres termes, de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini. Voici deux propriétés importantes de ces espaces.
Proposition 1 : soit
un espace métrique compact. Si
est une suite décroissante de sous-ensembles fermés non vides de E, alors
. En particulier,...
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