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Auteur(s)
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Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis
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Parmi les équations différentielles en général, les équations différentielles linéaires jouissent d’un statut particulier. Cela est dû à leur relative simplicité d’étude, ainsi qu’à leur fréquence d’apparition dans la modélisation. En outre, les procédés numériques qui permettent d’en obtenir des solutions approchées sont robustes, et ne sont pas soumis aux fluctuations imprévisibles qui sont inhérentes aux phénomènes non linéaires.
Le cadre naturel de la modélisation étant habituellement l’espace de dimension 3, les phénomènes fonction des coordonnées spatiales relèvent plus souvent des équations aux dérivées partielles. C’est pourquoi les équations différentielles décrivent de préférence des évolutions temporelles, dans lesquelles la variable scalaire est le temps.
Une littérature très riche a été élaborée sur ce sujet, notamment durant le XIXe siècle. Cet article, sans aborder les points les plus techniques soulevés par les fonctions spéciales, se contente d’évoquer les aspects les plus élémentaires de la théorie.
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Équations différentielles linéaires à coefficients constants
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1. Résultats généraux
1.1 Position du problème
Une équation différentielle est dite linéaire lorsqu’elle exprime la condition d’annulation d’une application linéaire, ou si l’on veut d’un opérateur différentiel. Par opposition aux équations aux dérivées partielles, les équations différentielles ont pour fonctions inconnues des fonctions d’une seule variable scalaire. Nous nous intéresserons principalement au cas où la variable est réelle. Si E est un espace vectoriel normé, on note
l’espace des endomorphismes continus de E.
Définition 1 : Soit I un intervalle de R, E un espace de Banach sur K,
,
des applications continues de I vers + c (E). On dit que x, application n fois dérivable de I vers E, est solution de l’équation différentielle linéaire homogène d’ordre n :
lorsque :
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