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Auteur(s)
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Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis
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Lire l’articleINTRODUCTION
Parmi les équations différentielles en général, les équations différentielles linéaires jouissent d’un statut particulier. Cela est dû à leur relative simplicité d’étude, ainsi qu’à leur fréquence d’apparition dans la modélisation. En outre, les procédés numériques qui permettent d’en obtenir des solutions approchées sont robustes, et ne sont pas soumis aux fluctuations imprévisibles qui sont inhérentes aux phénomènes non linéaires.
Le cadre naturel de la modélisation étant habituellement l’espace de dimension 3, les phénomènes fonction des coordonnées spatiales relèvent plus souvent des équations aux dérivées partielles. C’est pourquoi les équations différentielles décrivent de préférence des évolutions temporelles, dans lesquelles la variable scalaire est le temps.
Une littérature très riche a été élaborée sur ce sujet, notamment durant le XIXe siècle. Cet article, sans aborder les points les plus techniques soulevés par les fonctions spéciales, se contente d’évoquer les aspects les plus élémentaires de la théorie.
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Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 1
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2. Équations différentielles linéaires à coefficients constants
2.1 Position du problème
Considérons l’équation différentielle :
où
.
Ici, a ne dépend pas de la variable t, ce qui revient à dire que
est une application constante. On ne fait en revanche aucune hypothèse sur b, si ce n’est que
.
Définition 4. Une équation
, où a est constante, est dite linéaire à coefficients constants.
Nous allons voir qu’une telle équation se résout explicitement par quadratures, ce qui lui confère un statut très particulier dans le cadre général des équations différentielles linéaires.
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Donnons quelques résultats préliminaires sur l’exponentielle d’un élément , de
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, définie par :![]()
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La famille intervenant dans la somme ci-dessus est bien sommable car, si ││ . ││ désigne la norme sur
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subordonnée à la norme de E, on a :![]()
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