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Auteur(s)
-
Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis
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Parmi les équations différentielles en général, les équations différentielles linéaires jouissent d’un statut particulier. Cela est dû à leur relative simplicité d’étude, ainsi qu’à leur fréquence d’apparition dans la modélisation. En outre, les procédés numériques qui permettent d’en obtenir des solutions approchées sont robustes, et ne sont pas soumis aux fluctuations imprévisibles qui sont inhérentes aux phénomènes non linéaires.
Le cadre naturel de la modélisation étant habituellement l’espace de dimension 3, les phénomènes fonction des coordonnées spatiales relèvent plus souvent des équations aux dérivées partielles. C’est pourquoi les équations différentielles décrivent de préférence des évolutions temporelles, dans lesquelles la variable scalaire est le temps.
Une littérature très riche a été élaborée sur ce sujet, notamment durant le XIXe siècle. Cet article, sans aborder les points les plus techniques soulevés par les fonctions spéciales, se contente d’évoquer les aspects les plus élémentaires de la théorie.
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Problème de Sturm-Liouville
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4. Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 2
4.1 Généralités
Considérons l’équation différentielle linéaire scalaire d’ordre 2 :
où
. Nous savons que l’espace affine des solutions est de dimension 2 et, plus précisément, si
, que
réalise une bijection affine entre cet espace et
.
On peut mettre
sous la forme équivalente :
lorsque
Si
sont solutions de l’équation homogène :
leur matrice wronskienne est :
Leur wronskien
...
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Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 2
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