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Auteur(s)
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Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis
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Parmi les équations différentielles en général, les équations différentielles linéaires jouissent d’un statut particulier. Cela est dû à leur relative simplicité d’étude, ainsi qu’à leur fréquence d’apparition dans la modélisation. En outre, les procédés numériques qui permettent d’en obtenir des solutions approchées sont robustes, et ne sont pas soumis aux fluctuations imprévisibles qui sont inhérentes aux phénomènes non linéaires.
Le cadre naturel de la modélisation étant habituellement l’espace de dimension 3, les phénomènes fonction des coordonnées spatiales relèvent plus souvent des équations aux dérivées partielles. C’est pourquoi les équations différentielles décrivent de préférence des évolutions temporelles, dans lesquelles la variable scalaire est le temps.
Une littérature très riche a été élaborée sur ce sujet, notamment durant le XIXe siècle. Cet article, sans aborder les points les plus techniques soulevés par les fonctions spéciales, se contente d’évoquer les aspects les plus élémentaires de la théorie.
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Résultats généraux
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5. Problème de Sturm-Liouville
5.1 Généralités
On considère l’équation différentielle linéaire avec second membre scalaire d’ordre 2 :
où
et
.
L’inconnue x appartient à
que l’on note E. On note S l’espace affine des solutions.
Contrairement au problème de Cauchy, où l’on cherche
vérifiant deux conditions au même instant, le problème de Sturm-Liouville s’intéresse aux solutions x qui vérifient des conditions aux bornes, ou encore conditions aux limites :
Ici, (a, b) et (c, d) sont deux couples non nuls de réels.
L’espace ambiant est celui des applications continues sur [0, 1], à valeurs complexes, que l’on note E. Cet espace est muni, outre de la norme uniforme
, du produit scalaire hermitien canonique :
La norme hermitienne attachée sera notée
.
Les solutions du problème de Sturm-Liouville...
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