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RÉSUMÉ
L'algèbre de Boole est une structure mathématique se rapportant à la manipulation des propositions et variables logiques à travers des équations. Les énoncés VRAI et FAUX y sont représentés par des valeurs binaires, tandis que les termes ET et OU deviennent des opérateurs de multiplication et d’addition. L'algèbre de Boole est au cœur de la logique mathématique, de la théorie des ensembles et de la théorie de l'information. Elle est utilisée aussi bien en mathématiques qu'en physique, et veille également aux fondements de l’informatique. Aujourd'hui les applications sont nombreuses, notamment en électronique et en télécommunications.
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Jean VUILLEMIN : Professeur d'informatique à l'École normale supérieure
INTRODUCTION
Le livre An Investigation of the Laws of Thought de George Boole donne les règles de ce qu'on appelle l'algèbre de Boole. Depuis 1854, le sujet a trouvé d'importantes applications, en mathématiques d'abord, puis en physique, en informatique et dans les télécommunications. L'algèbre de Boole fait maintenant partie des fondements théoriques de toutes ces disciplines. L'évaluation massive de formules booléennes, des milliards de fois chaque nanoseconde, par des puces électroniques, est l'une des clés de notre brave nouveau siècle numérique. La vérification automatique de formules booléennes massives (des millions de portes) est une autre clé dans la conception fiable de divers systèmes numériques critiques.
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Théorie
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1. Motivations et contexte
1.1 Motivations
L'algèbre de Boole est au cœur de la logique mathématique, de la théorie des ensembles, de la théorie de l'information, des algorithmes et de leur complexité.
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Calcul des prédicats
Le calcul des propositions (« the Laws of Thought ») donne un langage et des règles pour formaliser les raisonnements intuitifs élémentaires. Une proposition est une formule dont on sait évaluer la valeur de vérité (vrai ou faux) à partir des valeurs de vérité données aux variables d'entrée x 1, x 2,…, x n.
Ainsi, p (x 1, x 2) := (x 1 et x 2) ou (non x 1 et non x 2) est vraie si x 1 = x 2 = vrai, ou si x 1 = x 2 = faux ; elle est fausse sinon. La proposition q (x 1, x 2) := non (x 1 xor x 2) lui est équivalente, si xor
représente le ou-exclusif. En effet, p et q sont deux définitions logiques possibles et équivalentes de l'égalité, car p = q est une tautologie, c'est-à-dire une formule que reste vraie pour toute valeur de vérité donnée aux entrées.
Le calcul des prédicats permet d'appliquer les quantificateurs universel
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