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RÉSUMÉ
L'algèbre de Boole est une structure mathématique se rapportant à la manipulation des propositions et variables logiques à travers des équations. Les énoncés VRAI et FAUX y sont représentés par des valeurs binaires, tandis que les termes ET et OU deviennent des opérateurs de multiplication et d’addition. L'algèbre de Boole est au cœur de la logique mathématique, de la théorie des ensembles et de la théorie de l'information. Elle est utilisée aussi bien en mathématiques qu'en physique, et veille également aux fondements de l’informatique. Aujourd'hui les applications sont nombreuses, notamment en électronique et en télécommunications.
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Jean VUILLEMIN : Professeur d'informatique à l'École normale supérieure
INTRODUCTION
Le livre An Investigation of the Laws of Thought de George Boole donne les règles de ce qu'on appelle l'algèbre de Boole. Depuis 1854, le sujet a trouvé d'importantes applications, en mathématiques d'abord, puis en physique, en informatique et dans les télécommunications. L'algèbre de Boole fait maintenant partie des fondements théoriques de toutes ces disciplines. L'évaluation massive de formules booléennes, des milliards de fois chaque nanoseconde, par des puces électroniques, est l'une des clés de notre brave nouveau siècle numérique. La vérification automatique de formules booléennes massives (des millions de portes) est une autre clé dans la conception fiable de divers systèmes numériques critiques.
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2. Théorie
L'algèbre de Boole peut être présentée par des axiomes, ou par des modèles explicites (parties d'un ensemble, vecteurs binaires, applications booléennes) de ces axiomes. Dans tous les cas, on arrive au même résultat, car toute algèbre de Boole est isomorphe à celle des parties d'un ensemble.
2.1 Parties d'un ensemble
L'algèbre de Boole est la structure de l'ensemble
des parties (sous-ensembles) d'un ensemble E. Les parties a, b ∊ 2 E de E sont munies des opérations ensemblistes habituelles :
-
le complément
;
-
l'union
;
-
l'intersection
.
L'ensemble vide est noté par ...
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