Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
On s'intéresse à une somme le plus souvent à cause de son comportement au voisinage d'un point particulier, à distance finie ou infinie. Pour cela, il faut disposer de méthodes d'évaluation asymptotique, qui font l'objet de cet article. Après une présentation du langage de la comparaison asymptotique, cet article aborde quelques méthodes assez générales, illustrées par des exemples.
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-
Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand
INTRODUCTION
Lorsque l’on a affaire à une somme, qu’elle soit finie ou infinie, qu’elle dépende de la borne ou d’un paramètre, il est fréquent que l’on ne s’y intéresse que du point de vue de son comportement au voisinage d’un point particulier, à distance finie ou infinie. Cela suppose de disposer de méthodes d’évaluation asymptotique. Nous introduirons d’abord le langage de la comparaison asymptotique, d’ailleurs omniprésent en analyse. Nous étudierons ensuite quelques méthodes assez générales, qui seront illustrées par des exemples. Souvent, les procédés conduisent à des calculs plutôt compliqués, que les logiciels de calcul formel ne sont pas toujours capables d’effectuer à l’heure actuelle.
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Présentation
Méthodes générales
En anglais
1. Généralités
1.1 Relations de comparaison asymptotique
Nous désignons par E, F, etc., des
vectoriels normés de dimension finie, où
est égal à
ou à
. Les fonctions considérées seront systématiquement à valeurs dans un tel espace vectoriel, dont la norme est notée
. Nous étudierons des fonctions définies sur une partie X d’un espace métrique contenant a comme point adhérent, et à valeurs dans un espace vectoriel normé du type précédent. Le plus souvent, X sera une partie de
, et a un point de
. Dans la pratique, nous aurons affaire à des fonctions définies sur un intervalle X de
, dont a pourra être une borne (sans être nécessairement dans X, et même le plus souvent n’y étant pas), ou encore à des suites définies à partir d’un certain indice. Dans ce dernier cas, le domaine de définition est du type
et a est systématiquement égal à + ∞.
Le comportement d’une fonction au voisinage de a relève de l’étude asymptotique de cette fonction.
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