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RÉSUMÉ
On s'intéresse à une somme le plus souvent à cause de son comportement au voisinage d'un point particulier, à distance finie ou infinie. Pour cela, il faut disposer de méthodes d'évaluation asymptotique, qui font l'objet de cet article. Après une présentation du langage de la comparaison asymptotique, cet article aborde quelques méthodes assez générales, illustrées par des exemples.
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Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand
INTRODUCTION
Lorsque l’on a affaire à une somme, qu’elle soit finie ou infinie, qu’elle dépende de la borne ou d’un paramètre, il est fréquent que l’on ne s’y intéresse que du point de vue de son comportement au voisinage d’un point particulier, à distance finie ou infinie. Cela suppose de disposer de méthodes d’évaluation asymptotique. Nous introduirons d’abord le langage de la comparaison asymptotique, d’ailleurs omniprésent en analyse. Nous étudierons ensuite quelques méthodes assez générales, qui seront illustrées par des exemples. Souvent, les procédés conduisent à des calculs plutôt compliqués, que les logiciels de calcul formel ne sont pas toujours capables d’effectuer à l’heure actuelle.
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Généralités
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3. Intégrales et sommes dépendant d’un paramètre
Lorsque l’on dispose d’une fonction définie par une intégrale dépendant d’un paramètre, où le paramètre joue le rôle de variable, on peut être conduit à chercher un équivalent de cette fonction lorsque la variable tend vers + ∞ ; de la même façon, lorsque l’on dispose d’une fonction définie par la somme d’une série de fonctions, on peut être conduit à chercher un équivalent analogue.
Trois exemples relèvent de cette recherche : la transformée de Laplace d’une fonction, les intégrales tournantes et la somme d’une série entière. Ils conduisent respectivement aux trois sous-paragraphes qui suivent.
3.1 Méthode de Laplace
Nous considérons une intégrale de la forme :
supposée exister pour x assez grand. Nous cherchons un équivalent de I (x) lorsque x tend vers a.
Nous faisons l’hypothèse que f et g sont à valeurs réelles, que g atteint son maximum en le seul point 0. Il est concevable, à cause de la présence de l’exponentielle, que le comportement de I pour les grandes valeurs de x est dirigé par les valeurs de t proches de 0. Nous voyons donc que la borne + ∞ de l’intégrale n’a pas d’importance particulière. D’ailleurs, lorsque l’on veut étudier une intégrale du type :
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