Présentation
En anglais
Auteur(s)
-
Gérard DEBEAUMARCHÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims
-
Danièle LINO : Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims
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Lire l’articleINTRODUCTION
De très nombreux problèmes issus des mathématiques ou de leurs applications conduisent à l’étude (et à la résolution) de systèmes d’équations linéaires. Le système (S) :
(où les inconnues sont les nombres
et où les nombres aij et bi sont donnés dans
) se note aussi, sous forme matricielle :
ou de façon plus ramassée :
AX = B(cette égalité ne signifiant rien d’autre que les n égalités du système (S)).
L’exemple ci-après illustre cette situation.
Considérons l’équation différentielle y’’ + q (x) y = f (x), que l’on retrouve en résistance des matériaux avec des conditions aux limites de la forme y (a) = A, y (b) = B, les fonctions q et f étant continues sur [a, b]. Ce problème aux limites admet une solution unique y, dont on peut chercher des approximations de la façon suivante. On établit un maillage du segment [a, b] en subdivisant celui-ci en n + 1 sous-segments égaux dont les extrémités sont notées a = x0, x1, ..., xn, xn + 1 = b. On sait, d’après la formule de Taylor, que :
Donc une valeur approchée de y’’(x) est (par addition) :
Ici, on prendra donc
et il vient :
L’équation différentielle y’’ + q (x) y = f (x) donne ainsi, lorsqu’on l’écrit aux point x1, x2, ..., xn du maillage :
En fait, vu l’approximation faite sur y’’, on n’obtient pas les nombres y (xi) mais des valeurs approchées yi de ceux-ci. Et les équations précédentes s’écrivent matriciellement :
On est ainsi ramené à résoudre un système d’équations linéaires (de grande taille dans les applications pratiques).
Dans cet article, on se propose d’étudier la notion de matrice afin d’être à même, notamment, d’étudier des systèmes d’équations linéaires du type précédent, mais aussi des systèmes d’équations différentielles que l’on peut rencontrer en physique lorsque des oscillateurs sont couplés, ou en cinétique chimique, etc., et d’autres problèmes plus fins intervenant dans toutes les applications des mathématiques.
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Changement de bases
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1. Matrices d’une application linéaire. Opérations sur les matrices
On se propose d’introduire la notion de matrice à partir de celle d’application linéaire, puis de définir les opérations sur les matrices à partir de celles sur les applications linéaires. On étudiera ensuite la structure de certains de ces ensembles de matrices.
Dans la suite, tous les espaces vectoriels sont considérés sur un même corps
et sont de dimension finie.
1.1 Matrice d’une application linéaire
Dans ce paragraphe, on suppose les espaces vectoriels E et F de dimension p et n, rapportés à deux bases
,
fixées une fois pour toutes.
On rappelle que la donnée d’une application linéaire de E dans F équivaut à la donnée de l’image de la base
de E, c’est-à-dire à la donnée des composantes des vecteurs (f (e1), ..., f (ep )) sur la base
de F.
Soit une application linéaire u de E dans F. On pose :
La définition de l’application u équivaut donc à la donnée des n p scalaires ui,j que l’on peut organiser sous forme d’un tableau de p colonnes à n éléments, la j ième colonne étant constituée des n composantes du vecteur u (ej) dans la base (f1, ..., fn) :
...
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