1 - MATRICES D’UNE APPLICATION LINÉAIRE. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES

1.1 - Matrice d’une application linéaire
1.2 - Somme et produit par un scalaire
1.3 - Produit de deux matrices
1.4 - Matrices carrées

2.1 - Matrices de passage
2.2 - Matrices équivalentes. Matrices semblables

3 - RANG D’UNE MATRICE

4 - MATRICES ÉQUIVALENTES

5 - ALGORITHME DU PIVOT DE GAUSS. CONSÉQUENCES

5.1 - Manipulations élémentaires sur les matrices
5.2 - Diverses formes de l’algorithme du pivot de Gauss

6 - DÉTERMINANTS

6.1 - Généralités
6.2 - Étude des formes n-linéaires alternées sur E (dim E = n)
6.3 - Déterminant d’une matrice carrée et d’un endomorphisme
6.4 - Calcul des déterminants
6.5 - Application des déterminants

7 - RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES

7.1 - Éléments propres d’un endomorphisme et d’une matrice carrée
7.2 - Trigonalisation et théorème de Hamilton-Cayley
7.3 - Diagonalisation des endomorphismes et des matrices carrées
7.4 - Diagonalisation par blocs

Article de référence | Réf : AF86 v1

Matrices d’une application linéaire. Opérations sur les matrices
Calcul matriciel

Auteur(s) : Gérard DEBEAUMARCHÉ, Danièle LINO

Relu et validé le 19 nov. 2019

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Auteur(s)

Gérard DEBEAUMARCHÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims
Danièle LINO : Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims

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INTRODUCTION

De très nombreux problèmes issus des mathématiques ou de leurs applications conduisent à l’étude (et à la résolution) de systèmes d’équations linéaires. Le système (S) :

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + \dots + a_{1 p} x_{p} \\ ⋮ \\ a_{n 1} x_{1} + \dots + a_{np} x_{p} \end{cases} \begin{matrix} = b_{1} \\ ⋮ \\ = b_{n} \end{matrix}

(où les inconnues sont les nombres $x_{1}, \dots, x_{p}$ et où les nombres a_ij et b_i sont donnés dans $K$ ) se note aussi, sous forme matricielle :

(\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 p} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{np} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{p} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})

ou de façon plus ramassée :

AX = B

(cette égalité ne signifiant rien d’autre que les n égalités du système (S)).

L’exemple ci-après illustre cette situation.

Considérons l’équation différentielle y’’ + q (x) y = f (x), que l’on retrouve en résistance des matériaux avec des conditions aux limites de la forme y (a) = A, y (b) = B, les fonctions q et f étant continues sur [a, b]. Ce problème aux limites admet une solution unique y, dont on peut chercher des approximations de la façon suivante. On établit un maillage du segment [a, b] en subdivisant celui-ci en n + 1 sous-segments égaux dont les extrémités sont notées a = x₀, x₁, …, x_n, x_n + 1 = b. On sait, d’après la formule de Taylor, que :

{\begin{matrix} y (x + h) = y (x) + {hy}^{'} (x) + \frac{h^{2}}{2} y^{″} (x) + 0 (h^{2}) \\ y (x - h) = y (x) - {hy}^{'} (x) + \frac{h^{2}}{2} y^{″} (x) + 0 (h^{2}) \end{matrix}

Donc une valeur approchée de y’’(x) est (par addition) :

y^{″} (x) \approx \frac{y (x + h) - 2 y (x) + y (x - h)}{h^{2}} .

Ici, on prendra donc $h = \frac{b - a}{n + 1}$ et il vient :

y^{″} (x_{i}) \approx \frac{y (x_{i + 1}) - 2 y (x_{i}) + y (x_{i - 1})}{h^{2}}

L’équation différentielle y’’ + q (x) y = f (x) donne ainsi, lorsqu’on l’écrit aux point x₁, x₂, …, x_n du maillage :

\frac{y (x_{i + 1}) - 2 y (x_{i}) + y (x_{i - 1})}{h^{2}} + q (x_{i}) y (x_{i}) = f (x_{i}) .

En fait, vu l’approximation faite sur y’’, on n’obtient pas les nombres y (x_i) mais des valeurs approchées y_i de ceux-ci. Et les équations précédentes s’écrivent matriciellement :

(\begin{matrix} - 2 + h^{2} q (x_{1}) & 1 & (0) \\ 1 & - 2 + h^{2} q (x_{2}) & ⋱ & 1 \\ ⋱ \\ (0) & ⋱ & ⋱ & 1 \\ ⋱ & ⋱ \\ 1 & - 2 + h^{2} q (x_{n}) \end{matrix}) (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - A + h^{2} f (x_{1}) \\ h^{2} f (x_{2}) \\ ⋮ \\ - B + h^{2} f (x_{n}) \end{matrix})

On est ainsi ramené à résoudre un système d’équations linéaires (de grande taille dans les applications pratiques).

Dans cet article, on se propose d’étudier la notion de matrice afin d’être à même, notamment, d’étudier des systèmes d’équations linéaires du type précédent, mais aussi des systèmes d’équations différentielles que l’on peut rencontrer en physique lorsque des oscillateurs sont couplés, ou en cinétique chimique, etc., et d’autres problèmes plus fins intervenant dans toutes les applications des mathématiques.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af86

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1. Matrices d’une application linéaire. Opérations sur les matrices

On se propose d’introduire la notion de matrice à partir de celle d’application linéaire, puis de définir les opérations sur les matrices à partir de celles sur les applications linéaires. On étudiera ensuite la structure de certains de ces ensembles de matrices.

Dans la suite, tous les espaces vectoriels sont considérés sur un même corps $K$ et sont de dimension finie.

1.1 Matrice d’une application linéaire

Dans ce paragraphe, on suppose les espaces vectoriels E et F de dimension p et n, rapportés à deux bases $B_{E} = (θ_{1}, \dots, θ_{p})$ , $B_{F} = (f_{1}, \dots, f_{n})$ fixées une fois pour toutes.

On rappelle que la donnée d’une application linéaire de E dans F équivaut à la donnée de l’image de la base $B_{E} = (θ_{1}, \dots, θ_{p})$ de E , c’est-à-dire à la donnée des composantes des vecteurs (f (e ₁), …, f (e_p )) sur la base $...$