Présentation
En anglais
Auteur(s)
-
Gérard DEBEAUMARCHÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims
-
Danièle LINO : Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims
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Lire l’articleINTRODUCTION
De très nombreux problèmes issus des mathématiques ou de leurs applications conduisent à l’étude (et à la résolution) de systèmes d’équations linéaires. Le système (S) :
(où les inconnues sont les nombres
et où les nombres aij et bi sont donnés dans
) se note aussi, sous forme matricielle :
ou de façon plus ramassée :
AX = B(cette égalité ne signifiant rien d’autre que les n égalités du système (S)).
L’exemple ci-après illustre cette situation.
Considérons l’équation différentielle y’’ + q (x) y = f (x), que l’on retrouve en résistance des matériaux avec des conditions aux limites de la forme y (a) = A, y (b) = B, les fonctions q et f étant continues sur [a, b]. Ce problème aux limites admet une solution unique y, dont on peut chercher des approximations de la façon suivante. On établit un maillage du segment [a, b] en subdivisant celui-ci en n + 1 sous-segments égaux dont les extrémités sont notées a = x0, x1, ..., xn, xn + 1 = b. On sait, d’après la formule de Taylor, que :
Donc une valeur approchée de y’’(x) est (par addition) :
Ici, on prendra donc
et il vient :
L’équation différentielle y’’ + q (x) y = f (x) donne ainsi, lorsqu’on l’écrit aux point x1, x2, ..., xn du maillage :
En fait, vu l’approximation faite sur y’’, on n’obtient pas les nombres y (xi) mais des valeurs approchées yi de ceux-ci. Et les équations précédentes s’écrivent matriciellement :
On est ainsi ramené à résoudre un système d’équations linéaires (de grande taille dans les applications pratiques).
Dans cet article, on se propose d’étudier la notion de matrice afin d’être à même, notamment, d’étudier des systèmes d’équations linéaires du type précédent, mais aussi des systèmes d’équations différentielles que l’on peut rencontrer en physique lorsque des oscillateurs sont couplés, ou en cinétique chimique, etc., et d’autres problèmes plus fins intervenant dans toutes les applications des mathématiques.
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Matrices d’une application linéaire. Opérations sur les matrices
En anglais
7. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
En pratique, le corps de base
.
7.1 Éléments propres d’un endomorphisme et d’une matrice carrée
On rappelle les définitions suivantes.
Définition 15. Soit f un endomorphisme. Un scalaire λ est valeur propre de f si, et seulement si :
a) il existe un vecteur non nul v tel que f (v) = λv ;
b) le noyau de l’endomorphisme f – λ Id n’est pas réduit au vecteur nul ;
c) l’endomorphisme f – λ Id n’est pas injectif ;
d) det (f – λ Id) = 0.
L’équivalence de ces propriétés résulte simplement de ce qui a été développé auparavant.
Définition 16. Soit f un endomorphisme.
On dit qu’un vecteur non nul v est un vecteur propre de f s’il existe un scalaire λ tel que f (v) = λv.
On dit que v est un vecteur propre associé à λ ; l’ensemble des vecteurs propres associés à λ auquel on adjoint le vecteur nul est le sous-espace propre Ker (f – λ Id) associé à λ.
Une méthode (au moins théorique) de recherche des valeurs propres λ d’un endomorphisme f est donc la recherche des racines λ de l’équation en x :
à laquelle on s’intéresse maintenant. A cet effet, on introduit la matrice M = (mi, j ) de f relativement à une base de E. On sait que le déterminant de f – x Id est celui de sa matrice M – x In...
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