Présentation
En anglais
Auteur(s)
-
Gérard DEBEAUMARCHÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims
-
Danièle LINO : Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims
Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.
Lire l’articleINTRODUCTION
De très nombreux problèmes issus des mathématiques ou de leurs applications conduisent à l’étude (et à la résolution) de systèmes d’équations linéaires. Le système (S) :
(où les inconnues sont les nombres
et où les nombres aij et bi sont donnés dans
) se note aussi, sous forme matricielle :
ou de façon plus ramassée :
AX = B(cette égalité ne signifiant rien d’autre que les n égalités du système (S)).
L’exemple ci-après illustre cette situation.
Considérons l’équation différentielle y’’ + q (x) y = f (x), que l’on retrouve en résistance des matériaux avec des conditions aux limites de la forme y (a) = A, y (b) = B, les fonctions q et f étant continues sur [a, b]. Ce problème aux limites admet une solution unique y, dont on peut chercher des approximations de la façon suivante. On établit un maillage du segment [a, b] en subdivisant celui-ci en n + 1 sous-segments égaux dont les extrémités sont notées a = x0, x1, ..., xn, xn + 1 = b. On sait, d’après la formule de Taylor, que :
Donc une valeur approchée de y’’(x) est (par addition) :
Ici, on prendra donc
et il vient :
L’équation différentielle y’’ + q (x) y = f (x) donne ainsi, lorsqu’on l’écrit aux point x1, x2, ..., xn du maillage :
En fait, vu l’approximation faite sur y’’, on n’obtient pas les nombres y (xi) mais des valeurs approchées yi de ceux-ci. Et les équations précédentes s’écrivent matriciellement :
On est ainsi ramené à résoudre un système d’équations linéaires (de grande taille dans les applications pratiques).
Dans cet article, on se propose d’étudier la notion de matrice afin d’être à même, notamment, d’étudier des systèmes d’équations linéaires du type précédent, mais aussi des systèmes d’équations différentielles que l’on peut rencontrer en physique lorsque des oscillateurs sont couplés, ou en cinétique chimique, etc., et d’autres problèmes plus fins intervenant dans toutes les applications des mathématiques.
L'expertise technique et scientifique de référence
DOI (Digital Object Identifier)
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(166 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
Présentation
Algorithme du pivot de Gauss. Conséquences
En anglais
4. Matrices équivalentes
Dans ce paragraphe, on se propose de regrouper en classes les matrices de
susceptibles de représenter une même application linéaire par rapport à différentes bases de ces espaces. On établiera notamment que deux matrices de
appartiennent à une même classe si, et seulement si, elles ont même rang.
Proposition 13.
Soit f une application linéaire de E (de dimension p) dans F (de dimension n). Elle est de rang r si, et seulement si, il existe des bases de E et de F relativement auxquelles la matrice de f est :
Preuve.
Prouvons que si f est de rang r, il existe des bases de E et de F telles que la matrice de f relativement à ces bases est Jr .
Il résulte de théorème du rang (cf. article Algèbre linéaire Algèbre linéaire) que le noyau de f est de dimension p – r. On choisit une base
du noyau de f que l’on complète en une base
de E. La famille
engendre clairement l’image et est,...
L'expertise technique et scientifique de référence
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(166 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
Matrices équivalentes
L'expertise technique et scientifique de référence
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(166 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
