Présentation
En anglais
Auteur(s)
-
Gérard DEBEAUMARCHÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims
-
Danièle LINO : Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims
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Lire l’articleINTRODUCTION
De très nombreux problèmes issus des mathématiques ou de leurs applications conduisent à l’étude (et à la résolution) de systèmes d’équations linéaires. Le système (S) :
(où les inconnues sont les nombres
et où les nombres aij et bi sont donnés dans
) se note aussi, sous forme matricielle :
ou de façon plus ramassée :
AX = B(cette égalité ne signifiant rien d’autre que les n égalités du système (S)).
L’exemple ci-après illustre cette situation.
Considérons l’équation différentielle y’’ + q (x) y = f (x), que l’on retrouve en résistance des matériaux avec des conditions aux limites de la forme y (a) = A, y (b) = B, les fonctions q et f étant continues sur [a, b]. Ce problème aux limites admet une solution unique y, dont on peut chercher des approximations de la façon suivante. On établit un maillage du segment [a, b] en subdivisant celui-ci en n + 1 sous-segments égaux dont les extrémités sont notées a = x0, x1, ..., xn, xn + 1 = b. On sait, d’après la formule de Taylor, que :
Donc une valeur approchée de y’’(x) est (par addition) :
Ici, on prendra donc
et il vient :
L’équation différentielle y’’ + q (x) y = f (x) donne ainsi, lorsqu’on l’écrit aux point x1, x2, ..., xn du maillage :
En fait, vu l’approximation faite sur y’’, on n’obtient pas les nombres y (xi) mais des valeurs approchées yi de ceux-ci. Et les équations précédentes s’écrivent matriciellement :
On est ainsi ramené à résoudre un système d’équations linéaires (de grande taille dans les applications pratiques).
Dans cet article, on se propose d’étudier la notion de matrice afin d’être à même, notamment, d’étudier des systèmes d’équations linéaires du type précédent, mais aussi des systèmes d’équations différentielles que l’on peut rencontrer en physique lorsque des oscillateurs sont couplés, ou en cinétique chimique, etc., et d’autres problèmes plus fins intervenant dans toutes les applications des mathématiques.
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Déterminants
En anglais
5. Algorithme du pivot de Gauss. Conséquences
On expose, dans ce paragraphe, l’algorithme du pivot de Gauss. Celui-ci permet :
-
d’une part, d’avoir un algorithme simple et numériquement efficace de résolution des systèmes et d’inversion des matrices carrées ;
-
d’autre part, de préciser des générateurs simples du groupe linéaire.
5.1 Manipulations élémentaires sur les matrices
Dans ce paragraphe, on désigne par M = (mi, j ) une matrice appartenant à
. Nous décrivons maintenant ce qu’il est convenu d’appeler manipulations élémentaires sur les lignes de cette matrice.
-
Ajout à une ligne d’une autre ligne multipliée par un scalaire λ
Ajouter à la première ligne λ fois la seconde s’interprète matriciellement de la façon suivante :
![]()
Plus généralement la prémultiplication de la matrice M par la matrice dite de translation
(où Ei,j désigne la matrice de la base canonique où l’élément 1 figure en position i, j ) donne la matrice obtenue en ajoutant à la i ème ligne de M λ fois sa j ième ligne.
-
Multiplication d’une ligne par un scalaire λ non nul
Multiplier la première ligne par un scalaire λ s’interprète matriciellement de la façon suivante :
![]()
Plus généralement la prémultiplication de la matrice M par la matrice dite de dilatation ou d’affinité...
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