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Auteur(s)
-
Jean-Pierre BROSSARD : Professeur de mécanique à l’Institut National des Sciences Appliquées (INSA) de Lyon
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les équations de la dynamique, obtenues par la méthode de Lagrange ou par les théorèmes généraux débarrassés des inconnues dynamiques, constituent un système différentiel du 2e ordre. Ces équations peuvent être ramenées au premier ordre, résultat que l’on peut obtenir directement par la méthode d’Hamilton.
On appelle état de mouvement une solution connue de ce système différentiel.
La résolution des équations différentielles est un problème difficile. Fort heureusement, il y a deux états de mouvement remarquables très fréquents et relativement faciles à étudier :
-
l’état d’équilibre ;
-
l’état stationnaire.
Avec la notion d’état d’équilibre et d’état de mouvement va de paire la notion de stabilité de ces états. C’est aussi un des problèmes fondamentaux de la mécanique.
On trouvera application de ces résultats dans de très nombreux domaines, notamment :
-
la mécanique céleste ;
-
la commande des systèmes dynamiques ;
-
l’aviation ;
-
l’astronautique ;
-
l’automobile ;
-
les véhicules sur rail ;
-
les ouvrages d’art.
Notons encore que la notion d’équilibre dépasse largement le cadre de la mécanique (biométrie, économétrie).
Cet article fait partie d’un ensemble d’articles traitant de la Mécanique générale ; le lecteur devra donc se reporter assez souvent aux développements mathématiques étudiés précédemment dans les articles :
-
Dynamique générale. Forme vectorielle ;
-
Dynamique générale. Forme analytique ;
de ce traité.
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États stationnaires
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1. État d’équilibre statique
La notion d’état de mouvement sera précisée ultérieurement. Elle servira à généraliser certaines notions de cet article.
La statique est simplement la partie de la mécanique qui traite d’un cas très particulier, l’absence de mouvement au repos.
On pourrait la considérer comme un simple cas particulier, mais nous allons voir qu’elle nécessite des développements autonomes.
1.1 Définition de l’équilibre
Nous allons procéder comme dans les articles précédents, en partant du point matériel, puis en généralisant aux systèmes considérés comme ensemble de points matériels.
HAUT DE PAGE1.1.1 Équilibre d’un point matériel
Un point matériel P est dit en équilibre dans la position P* telle que
, si le système :
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