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Auteur(s)
-
Jean-Pierre BROSSARD : Professeur de mécanique à l’Institut National des Sciences Appliquées (INSA) de Lyon
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les équations de la dynamique, obtenues par la méthode de Lagrange ou par les théorèmes généraux débarrassés des inconnues dynamiques, constituent un système différentiel du 2e ordre. Ces équations peuvent être ramenées au premier ordre, résultat que l’on peut obtenir directement par la méthode d’Hamilton.
On appelle état de mouvement une solution connue de ce système différentiel.
La résolution des équations différentielles est un problème difficile. Fort heureusement, il y a deux états de mouvement remarquables très fréquents et relativement faciles à étudier :
-
l’état d’équilibre ;
-
l’état stationnaire.
Avec la notion d’état d’équilibre et d’état de mouvement va de paire la notion de stabilité de ces états. C’est aussi un des problèmes fondamentaux de la mécanique.
On trouvera application de ces résultats dans de très nombreux domaines, notamment :
-
la mécanique céleste ;
-
la commande des systèmes dynamiques ;
-
l’aviation ;
-
l’astronautique ;
-
l’automobile ;
-
les véhicules sur rail ;
-
les ouvrages d’art.
Notons encore que la notion d’équilibre dépasse largement le cadre de la mécanique (biométrie, économétrie).
Cet article fait partie d’un ensemble d’articles traitant de la Mécanique générale ; le lecteur devra donc se reporter assez souvent aux développements mathématiques étudiés précédemment dans les articles :
-
Dynamique générale. Forme vectorielle ;
-
Dynamique générale. Forme analytique ;
de ce traité.
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État d’équilibre statique
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2. États stationnaires
2.1 État de mouvement. État stationnaire
Nous avons étudié au paragraphe 1 un mouvement particulier : l’équilibre. Nous avons parlé à son propos d’état. Cette notion se généralise si l’on a un système à n paramètres q 1 , …, qn . Le mouvement est régi par le système différentiel décrit, par exemple, par les équations de mouvement :
D’une manière générale, on appelle état de mouvement une solution connue du système différentiel :
Supposons que l’équation du mouvement à un paramètre soit celle d’un système masse-ressort (mouvement harmonique) :
La solution est :
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