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Auteur(s)
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Jean-Pierre BROSSARD : Professeur de Mécanique à l’Institut National des Sciences Appliquées (INSA) de Lyon
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La mécanique analytique, dont le corps central est constitué par les équations de Lagrange, est un outil qui couvre le même champ d’application que les théorèmes généraux. Il s’agit de trouver le mouvement causé par une action mécanique ou, problème réciproque, de trouver les actions mécaniques, le mouvement étant connu. Il y a formellement une grande différence ; la formulation de la mécanique analytique est essentiellement scalaire alors qu’elle est vectorielle pour les théorèmes généraux. La cinétique se fait à partir de l’énergie cinétique et les actions mécaniques s’expriment à travers la puissance virtuelle. Par ailleurs, la mise en équations se fait de manière automatique alors que, par les théorèmes généraux, il faut sélectionner à la fois les systèmes auxquels on les applique et les théorèmes les mieux adaptés pour éviter une série d’équations inutiles. Avec Lagrange ou Hamilton le système considéré est toujours le système global.
Alors pourquoi avoir deux outils pour résoudre un même problème ? Le choix se fait sur un critère simple : l’économie de pensée. Tel problème reçoit une formulation remarquablement simple par Lagrange. Pour tel autre, les théorèmes généraux permettent un contrôle direct et donc une vérification pas à pas de la mise en équation, alors que les équations de Lagrange apparaissent comme une boîte noire avec entrée-sortie et qu’il faut faire en quelque sorte aveuglément confiance aux calculs. Par ailleurs, on a des formes remarquables de mise en équation lorsque les actions mécaniques peuvent être représentées par des fonctions connues a priori (fonction potentiel, fonction dissipation).
Les équations d’Hamilton déduites des équations de Lagrange ont l’intérêt de fournir directement le système canonique (équations différentielles du premier ordre) et permettent une écriture très unifiée des problèmes d’optimisation.
Les équations de Lagrange et d’Hamilton, dont l’usage déborde celui de la mécanique de l’ingénieur, font partie des connaissances de base.
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Équations d’Hamilton
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1. Équations de Lagrange
Lagrange propose d’obtenir une formulation globale et unique pour tous les problèmes de mécanique. Les équations de Lagrange ne donneront pas d’autres résultats que ceux que l’on peut obtenir par les théorèmes généraux mais, dans de nombreux cas, la formulation est plus commode et permet d’obtenir directement le système différentiel, c’est‐à‐dire d’éliminer ce que nous avons appelé les inconnues dynamiques. La méthode est basée sur l’emploi des transformations virtuelles.
1.1 Équation de d’Alembert en dynamique
La loi fondamentale pour un point matériel P de masse dm appartenant à un système (S) s’écrit :
avec :
-
![]()
: - l’action extérieure au système auquel appartient P
-
![]()
: - l’action intérieure, c’est‐à‐dire l’action sur P des autres éléments de (S)
-
![]()
: - l’accélération du point P dans un repère galliléen.
Il est évident que l’on peut multiplier les deux membres de l’équation fondamentale par un vecteur
a priori arbitraire. On obtient ainsi l’équation de d’Alembert pour un point matériel :
Pour tout le système (S )...
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