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Auteur(s)
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Jean-Pierre BROSSARD : Professeur de Mécanique à l’Institut National des Sciences Appliquées (INSA) de Lyon
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Lire l’articleINTRODUCTION
La mécanique analytique, dont le corps central est constitué par les équations de Lagrange, est un outil qui couvre le même champ d’application que les théorèmes généraux. Il s’agit de trouver le mouvement causé par une action mécanique ou, problème réciproque, de trouver les actions mécaniques, le mouvement étant connu. Il y a formellement une grande différence ; la formulation de la mécanique analytique est essentiellement scalaire alors qu’elle est vectorielle pour les théorèmes généraux. La cinétique se fait à partir de l’énergie cinétique et les actions mécaniques s’expriment à travers la puissance virtuelle. Par ailleurs, la mise en équations se fait de manière automatique alors que, par les théorèmes généraux, il faut sélectionner à la fois les systèmes auxquels on les applique et les théorèmes les mieux adaptés pour éviter une série d’équations inutiles. Avec Lagrange ou Hamilton le système considéré est toujours le système global.
Alors pourquoi avoir deux outils pour résoudre un même problème ? Le choix se fait sur un critère simple : l’économie de pensée. Tel problème reçoit une formulation remarquablement simple par Lagrange. Pour tel autre, les théorèmes généraux permettent un contrôle direct et donc une vérification pas à pas de la mise en équation, alors que les équations de Lagrange apparaissent comme une boîte noire avec entrée-sortie et qu’il faut faire en quelque sorte aveuglément confiance aux calculs. Par ailleurs, on a des formes remarquables de mise en équation lorsque les actions mécaniques peuvent être représentées par des fonctions connues a priori (fonction potentiel, fonction dissipation).
Les équations d’Hamilton déduites des équations de Lagrange ont l’intérêt de fournir directement le système canonique (équations différentielles du premier ordre) et permettent une écriture très unifiée des problèmes d’optimisation.
Les équations de Lagrange et d’Hamilton, dont l’usage déborde celui de la mécanique de l’ingénieur, font partie des connaissances de base.
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Forme variationnelle. Principe d’Hamilton
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2. Équations d’Hamilton
Les équations du mouvement comme nous l’avons vu pour les équations de Lagrange 1 sont des équations différentielles de second ordre. On peut les ramener au premier ordre.
L’équation différentielle x “ + ω 2 x = 0 peut être remplacée par le système différentiel du premier ordre :
Nous obtenons ainsi le système canonique de la mécanique. On peut obtenir ce résultat directement avec les équations d’Hamilton.
2.1 Forme classique des équations
Les équations d’Hamilton ont été établies à l’origine avec des hypothèses très restrictives. C’est sous cette forme qu’elles sont notamment utilisées en physique.
HAUT DE PAGE2.1.1 Hypothèses restrictives d’application
Hypothèses d’application :
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1. les paramètres sont indépendants ;
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2. la configuration peut être exprimée indépendamment de t ;
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3. il y a fonction potentielle au sens ordinaire (on entend par là qu’elle ne dépend pas des vitesses) ;
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4. les liaisons sont parfaites au sens de Gauss ;
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5. le système est formé de solides parfaits (les systèmes de points matériels rentrent évidemment dans ce cas).
On sait que l’on peut écrire les équations de Lagrange sous la forme ...
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