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RÉSUMÉ
Ce dossier expose quelques bases des méthodes de volumes finis qui sont des méthodes de discrétisation numérique très utilisées pour les problèmes de mécanique des fluides au sens large et pour les problèmes dont les équations de base présentent d'importantes non-linéarités. Le principe de base consiste à calculer la variation de l'intégrale des quantités moyennes dans des cellules géométriques. L'interaction numérique entre les cellules se détermine grâce à des flux numériques. Plusieurs exemples sont détaillés.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Bruno DESPRES : Professeur de mathématiques à l'université Pierre et Marie Curie - Conseiller scientifique au Commissariat à l'Energie Atomique
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Nicolas SEGUIN : Maitre de conférence en mathématiques à l'université Pierre et Marie Curie
INTRODUCTION
Les méthodes de volumes finis sont en quelque sorte complémentaires des méthodes de différences finies [AF 501] et des méthodes d'éléments finis [AF 503] [AF 504] [AF 505]. La structure de données est en effet très proche de celle des différences finies lorsque ces méthodes sont utilisées sur un maillage cartésien, tout en autorisant une plus grande souplesse géométrique sur les maillages non cartésiens comme cela est le cas pour les méthodes d'éléments finis. Les méthodes de volumes finis sont aussi très utilisées pour la discrétisation numérique des équations aux dérivées partielles non linéaires, telles que les équations de la dynamique des gaz compressibles. Ce sont aussi des méthodes très robustes. Ces propriétés expliquent leur intérêt. Cependant le principe de construction qui s'appuie sur des formules intégrales plutôt que différentielles ou faibles est différent des méthodes de différences finies ou d'éléments finis.
L'objet de ce dossier est de présenter le plus simplement possible quelques règles de construction de divers schémas de volumes finis. Les aspects les plus techniques qui concernent les preuves de convergence ne sont pas abordés.
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Exemples en dimension 1
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4. Extension d'ordre 2
Les schémas de volumes finis sont par construction d'ordre 1 en espace, c'est-à-dire qu'ils réalisent une approximation de l'équation exacte en O (h). Pour les problèmes qui sont dominés par le transport, ou tout au moins dans lesquels le transport joue un rôle déterminant, l'expérience est que l'ordre 1 est grandement insuffisant. En pratique une diffusion numérique excessive se surajoute à la diffusion d'origine physique. Considérons le problème couplé de la section 1.2.5. Pour des coefficients constants en espace, on peut montrer que ce schéma est une approximation à l'ordre 2 en espace (et 1 en temps) de l'équation
où le coefficient additionnel est
. Ce coefficient tend vers zéro quand le pas du maillage tend vers zéro : cependant il arrive souvent que Ds soit du même ordre que le coefficient physique D. Auquel cas c'est l'ensemble de la simulation qui est affectée. Ce problème a été identifié dès l'origine des schémas de volumes finis et des réponses sont disponibles. Essentiellement il s'agit de construire des schémas...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - EYMARD (R.), GALLOUET (T.), HERBIN (R.) - Finite Volume methods - Handbook of Numerical Analysis (2000).
-
(2) - DUBOIS (F.), DESPRES (B.) - Systèmes hyperboliques et dynamique des gaz, application à la dynamique des gaz - Éditions de l'École Polytechnique (2005).
-
(3) - DESPRES (B.) - Lois de conservation Eulériennes, Lagrangiennes et méthodes numériques - Mathématiques et Application 68, Springer (2010).
-
(4) - KUZMIN (D.), LOHNER (R.), TUREK (S.) - Flux-corrected transport : principles, algorithms and applications - Springer, Scient. Comp. (2005).
-
(5) - LEVEQUE (R.J.) - Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems - Cambridge University Press (2002).
-
(6) - BARTH (T.), OHLBERGER (M.) - Finite volume methods : foundation and analysis - Encyclopedia...
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