Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Ce dossier expose quelques bases des méthodes de volumes finis qui sont des méthodes de discrétisation numérique très utilisées pour les problèmes de mécanique des fluides au sens large et pour les problèmes dont les équations de base présentent d'importantes non-linéarités. Le principe de base consiste à calculer la variation de l'intégrale des quantités moyennes dans des cellules géométriques. L'interaction numérique entre les cellules se détermine grâce à des flux numériques. Plusieurs exemples sont détaillés.
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We present the foundations of Finite Volume Methods: this family of discretization techniques is very useful in Computational Fluid Mechanics and for all problems whose PDE formulations are highly nonlinear. The design principle consists in the calculation of averaged quantities in geometric cells. The time variation of these averages is calculated with numerical fluxes. We detail some examples.
Auteur(s)
-
Bruno DESPRES : Professeur de mathématiques à l'université Pierre et Marie Curie - Conseiller scientifique au Commissariat à l'Energie Atomique
-
Nicolas SEGUIN : Maitre de conférence en mathématiques à l'université Pierre et Marie Curie
INTRODUCTION
Les méthodes de volumes finis sont en quelque sorte complémentaires des méthodes de différences finies [AF 501] et des méthodes d'éléments finis [AF 503] [AF 504] [AF 505]. La structure de données est en effet très proche de celle des différences finies lorsque ces méthodes sont utilisées sur un maillage cartésien, tout en autorisant une plus grande souplesse géométrique sur les maillages non cartésiens comme cela est le cas pour les méthodes d'éléments finis. Les méthodes de volumes finis sont aussi très utilisées pour la discrétisation numérique des équations aux dérivées partielles non linéaires, telles que les équations de la dynamique des gaz compressibles. Ce sont aussi des méthodes très robustes. Ces propriétés expliquent leur intérêt. Cependant le principe de construction qui s'appuie sur des formules intégrales plutôt que différentielles ou faibles est différent des méthodes de différences finies ou d'éléments finis.
L'objet de ce dossier est de présenter le plus simplement possible quelques règles de construction de divers schémas de volumes finis. Les aspects les plus techniques qui concernent les preuves de convergence ne sont pas abordés.
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KEYWORDS
Finite Volumes" | Numerical fluxes" | Second Order Reconstruction"
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Cas non linéaire
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2. Dimension 2
On s’intéresse maintenant à l’écriture des schémas volumes finis en dimension 2 d’espace. Le principe est le même, la solution est approchée par une fonction constante par maille et les flux numériques sont calculés au travers des interfaces qui séparent les mailles (on se concentre ici seulement sur les schémas cell-centered). Soit K une maille (figure 3), on notera l’ensemble des mailles qui ont une arête commune avec cette maille V (K), eKL l’arête en la maille K et une maille L de V (K), nKL la normale unitaire à eKL orientée de K vers L.
2.1 Équation de transport
On s’intéresse tout d’abord à l’équation de transport
où V est un vecteur de
et
. La donnée initiale u0 (x) est approchée par
et un schéma volumes finis standard s’écrit alors pour n ≥ 0
où
doit être une approximation du flux Vu entre la maille K et la maille L entre tn et tn+1. Un exemple de flux est celui correspondant au schéma décentré amont :
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Dimension 2
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - EYMARD (R.), GALLOUET (T.), HERBIN (R.) - Finite Volume methods - Handbook of Numerical Analysis (2000).
-
(2) - DUBOIS (F.), DESPRES (B.) - Systèmes hyperboliques et dynamique des gaz, application à la dynamique des gaz - Éditions de l'École Polytechnique (2005).
-
(3) - DESPRES (B.) - Lois de conservation Eulériennes, Lagrangiennes et méthodes numériques - Mathématiques et Application 68, Springer (2010).
-
(4) - KUZMIN (D.), LOHNER (R.), TUREK (S.) - Flux-corrected transport : principles, algorithms and applications - Springer, Scient. Comp. (2005).
-
(5) - LEVEQUE (R.J.) - Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems - Cambridge University Press (2002).
-
(6) - BARTH (T.), OHLBERGER (M.) - Finite volume methods : foundation and analysis - Encyclopedia...
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