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RÉSUMÉ
Ce dossier expose quelques bases des méthodes de volumes finis qui sont des méthodes de discrétisation numérique très utilisées pour les problèmes de mécanique des fluides au sens large et pour les problèmes dont les équations de base présentent d'importantes non-linéarités. Le principe de base consiste à calculer la variation de l'intégrale des quantités moyennes dans des cellules géométriques. L'interaction numérique entre les cellules se détermine grâce à des flux numériques. Plusieurs exemples sont détaillés.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Bruno DESPRES : Professeur de mathématiques à l'université Pierre et Marie Curie - Conseiller scientifique au Commissariat à l'Energie Atomique
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Nicolas SEGUIN : Maitre de conférence en mathématiques à l'université Pierre et Marie Curie
INTRODUCTION
Les méthodes de volumes finis sont en quelque sorte complémentaires des méthodes de différences finies [AF 501] et des méthodes d'éléments finis [AF 503] [AF 504] [AF 505]. La structure de données est en effet très proche de celle des différences finies lorsque ces méthodes sont utilisées sur un maillage cartésien, tout en autorisant une plus grande souplesse géométrique sur les maillages non cartésiens comme cela est le cas pour les méthodes d'éléments finis. Les méthodes de volumes finis sont aussi très utilisées pour la discrétisation numérique des équations aux dérivées partielles non linéaires, telles que les équations de la dynamique des gaz compressibles. Ce sont aussi des méthodes très robustes. Ces propriétés expliquent leur intérêt. Cependant le principe de construction qui s'appuie sur des formules intégrales plutôt que différentielles ou faibles est différent des méthodes de différences finies ou d'éléments finis.
L'objet de ce dossier est de présenter le plus simplement possible quelques règles de construction de divers schémas de volumes finis. Les aspects les plus techniques qui concernent les preuves de convergence ne sont pas abordés.
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3. Cas non linéaire
Les méthodes de volumes finis ont été inventées initialement pour la discrétisation des équations non linéaires car le respect des principes de conservation et de stabilité y est extrêmement important. Nous commençons par détailler le cas de l'équation de Burgers qui est le problème modèle de toute équation non linéaire, puis nous passons à la dynamique des fluides compressibles.
3.1 Équation de Burgers
L'équation de Burgers s'écrit
dont l'inconnue est la fonction u (x, t). La fonction flux est
. La difficulté principale, par rapport au cas des équations linéaires qui a été traité en dimension 1, est que les solutions de cette équation ainsi que de toute équation non linéaire sont susceptibles de contenir des discontinuités par rapport à la variable d'espace et de temps. Les solutions discontinues se doivent de vérifier le critère d'entropie pour être admissibles.
Parmi les diverses formulations possibles du critère d'entropie, nous retenons la suivante : soit u → s (u) où la fonction s est convexe, ainsi qu'une deuxième fonction u → g (u) appelée flux d'entropie ; dans le cas différentiable, ces conditions s'écrivent s′ (u)f ′ (u) = g′ (u) et s′′ (u) ≥ 0 pour tout u. La fonction u est une solution entropique si et seulement si l'inégalité ∂ts (u) + ∂xg (u) ≤ 0 est vérifiée au sens des distributions pour tout couple (s,...
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Cas non linéaire
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - EYMARD (R.), GALLOUET (T.), HERBIN (R.) - Finite Volume methods - Handbook of Numerical Analysis (2000).
-
(2) - DUBOIS (F.), DESPRES (B.) - Systèmes hyperboliques et dynamique des gaz, application à la dynamique des gaz - Éditions de l'École Polytechnique (2005).
-
(3) - DESPRES (B.) - Lois de conservation Eulériennes, Lagrangiennes et méthodes numériques - Mathématiques et Application 68, Springer (2010).
-
(4) - KUZMIN (D.), LOHNER (R.), TUREK (S.) - Flux-corrected transport : principles, algorithms and applications - Springer, Scient. Comp. (2005).
-
(5) - LEVEQUE (R.J.) - Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems - Cambridge University Press (2002).
-
(6) - BARTH (T.), OHLBERGER (M.) - Finite volume methods : foundation and analysis - Encyclopedia...
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