Bibliographie & annexes
Présentation
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RÉSUMÉ
On utilise la méthode des volumes finis pour résoudre les équations de Navier-Stokes. L’article comprend deux parties distinctes. La première présente la méthode de discrétisation pour résoudre les problèmes de diffusion et de convection-diffusion 1D, 2D et 3D sur des maillages structurés ou non ainsi que la semi-discrétisation en temps pour ensuite aboutir à des schémas explicites et implicites en temps pour résoudre l’équation de la chaleur. La seconde partie présente la résolution des équations cibles par la méthode des volumes finis. En fait cela revient à résoudre des équations de diffusions couplées à des équations de convection-diffusion ; en utilisant les résultats de la première partie, on présente et on compare entre eux divers algorithmes de résolution.
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Pierre SPITERI : Professeur émérite - Université de Toulouse, INP – ENSEEIHT - IRIT, Toulouse, France
INTRODUCTION
Dans cette série d’articles consacrée à la résolution numérique des équations de Navier-Stokes on présente plusieurs méthodes de résolution basées sur plusieurs types de méthode de discrétisation des équations aux dérivées partielles. On a déjà présenté :
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d’une part la méthode des différences finies où l’on remplace les dérivées par des quotients différentiels [AF 1 404] ; cette méthode correspond à l’expression d’un équilibre des quantités représentées par le modèle physique en chaque point du maillage ;
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d’autre part la méthode des éléments finis [AF 1 407] où après avoir donné une formulation équivalente du problème via la formule de Green dans un espace de fonctions tests approprié, ce qui correspond en gros à une extension de la formule d’intégration par partie généralisée (ou encore de façon plus générale à l’utilisation de la dérivation au sens des distributions) et aboutit à l’application du principe des travaux virtuels, on décompose la solution dans une base finie bien adaptée numériquement ; cela revient à projeter la solution exacte d’un espace de dimension infinie sur un espace de dimension finie [AF 503] [AF 504] [AF 505] ; cette méthode des éléments finis présente l’avantage de pouvoir résoudre l’équation de Navier-Stokes sur des maillages non structurés et de plus elle est bien adaptée lorsque le domaine Ω est de forme quelconque avec une frontière ∂Ω courbe ;
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il existe d’autres méthodes de discrétisation comme la méthode des différences finies variationnelles où à partir de la formulation équivalente précédente du problème via le principe des travaux virtuels, on recherche la valeur moyenne de la solution sur de petites cellules constituant le maillage de discrétisation. Cependant cette méthode est très peu utilisée par les ingénieurs et par conséquent elle ne sera pas exposée.
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formulation vitesse-pression maillages décalés maillages structurés équation de la chaleur comportement d'un fluide
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Résolution des équations de diffusion et de convection-diffusion par la méthode des volumes finis
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3. Conclusion
Cet article a permis dans un premier temps de présenter de façon succincte la discrétisation des équations aux dérivées partielles de diffusion et de convection-diffusion par la méthode des volumes finis aussi bien sur des maillages structurés que sur des maillages non structurés ; diverses situations ont été considérées, d’une part la discrétisation de problèmes stationnaires ainsi que de problèmes d’évolution par des schémas explicites et implicites, d’autre part le cas de problèmes présentant des coefficients discontinus a été également étudié. Cette première partie permet ensuite de présenter diverses méthodes de résolution des équations de Navier-Stokes par des schémas de type prédiction--correction mis en œuvre sur des maillages vitesse et pression décalés les uns par rapport aux autres ce qui permet d’éviter des phénomènes d’instabilités lors de la résolution des équations discrétisées. Il est à noter que les méthodes de résolution des équations de Navier-Stokes par la méthode des volumes finis sont relativement simples à mettre en œuvre (à part la gestion des indices sur les maillages décalés) et sont de plus en plus utilisées dans l’industrie.
Cet article présente un éclairage différent de celui présent dans l’article [AF 1 404] qui a permis de présenter la résolution des équations de Navier-Stokes par la méthode des différences finies. Notons à ce sujet que la formulation courant-vorticité est compatible également avec l’utilisation de la méthode des volumes finis aussi bien sur des maillages structurés que sur des maillages non structurés considérée, dans le présent article.
Enfin, pour terminer, dans un prochain article ...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - BAZILEVS (Y.), TAKIZAWA (K.), TEZDUYAR (T.) - Computational fluid – structure interaction, - Wiley (2013).
-
(2) - BREZINSKI (C.) - Algorithmes d'accélération de la convergence. Étude numérique. - Éditions Technip, Paris, 2000, 404 pages.
-
(3) - CHAU (M.), SPITERI (P.), BOISSON (H.C.) - Parallel numerical simulation for the coupled problem of continuous flow electrophoresis, - Int. J. for Numerical methods in fluids, vol. 55, pp. 945-963 (2007).
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(4) - CHAU (M.), SPITERI (P.), GUIVARCH (R.), BOISSON (H.C.) - Parallel asynchronous iterations for the solution of a 3D continuous flow electrophoresis problem, - Computers and fluids, vol. 37, pp. 1126-1137 (2008).
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(5) - CHAU (M.), GARCIA (T.), SPITERI (P.) - Asynchronous grid computing for the simulation of the 3D electrophoresis coupled problem, - Advances in engineering software, vol. 60-61, pp. 111-121 (2013).
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