Résolution numérique des équations de Navier-Stokes par la méthode des éléments finis

Dans l’article [AF 1 404] nous avons présenté les concepts méthodologiques conduisant à la modélisation par l’équation de Navier-Stokes des phénomènes d’écoulements de fluides incompressibles ou compressibles, laminaires ou turbulents. Pour résoudre numériquement ces équations par différences finies nous avons considéré, d’une part, la formulation courant-vorticité qui conduit à la résolution d’équations de Poisson couplées à des équations de convection-diffusion et, d’autre part, la formulation vitesse-pression. Cependant l’approximation de problèmes aux limites par différences finies si elle est intéressante lorsque le domaine Ω est de forme rectangulaire présente par contre des difficultés de mise en œuvre lorsque Ω est de forme quelconque. C’est pourquoi dans l’industrie on utilise de préférence la méthode des éléments finis qui permet à la fois d’obtenir une approximation des opérateurs aux dérivées partielles ainsi que du domaine Ω. On a vu également dans l’article [AF 1 406] la résolution des équations de Navier-Stokes par la méthode des volumes finis.

Pour des raisons de simplicité d’exposition on se limitera dans cet article au cas de problèmes bidimensionnels stationnaires ; habituellement on discrétise les dérivées par rapport au temps par différences finies pour aboutir soit à des schémas en temps de type explicite soit à des schémas en temps de type implicite, puis on utilise la méthode des éléments finis pour discrétiser spatialement le problème semi-discrétisé en temps. Que cela soit l’un ou l’autre schéma en temps, le point crucial est donc constitué par l’approximation spatiale des opérateurs. On abordera aussi la discrétisation temporelle par élément finis.

Compte tenu de la complexité de l’approximation du problème cible par éléments finis, nous nous bornerons dans un premier temps à l’approximation par éléments finis du problème linéaire de Stokes, correspondant aux équations de Navier-Stokes sans le terme non linéaire de convection. De plus toujours pour simplifier l’exposé nous supposerons que les conditions aux limites sont de type Dirichlet homogènes, c’est-à-dire que est nulle sur la frontière ∂Ω du domaine Ω.

Une fois cette étude menée à bien on pourra envisager la résolution de l’équation de Navier-Stokes en utilisant une méthode itérative qui consiste à résoudre une succession de problèmes linéaires de Stokes.

Pour ne pas alourdir l’exposé on suppose que les principes de base de la méthode des éléments finis sont connus. Ces principes sont exposés dans [AF 503] [AF 504] [AF 505] et permettent une étude préalable de cette méthode.

Cet article est divisé en quatre grandes parties. La première présente la résolution des équations de Stokes par la méthode des éléments finis ; l’étude de cette partie est essentielle pour la compréhension des suivantes. On présentera donc dans cette partie la formulation variationnelle du problème de Stokes puis la discrétisation par éléments finis avec une présentation d’éléments finis admissibles ; on terminera en donnant quelques estimations d’erreurs. La deuxième partie est consacrée à la résolution des équations de Navier-Stokes par la méthode des éléments finis ; en particulier on donnera quelques estimations d’erreurs et on indiquera quelques méthodes de résolution du système discrétisé, ces méthodes étant distinctes de celles présentées dans [AF 1 404] ; on indiquera brièvement des procédés de discrétisation temporelle par éléments finis. La partie suivante est consacrée à la résolution des équations de Navier-Stokes discrétisées par la méthode de pénalisation et par la méthode d’Uzawa et ses variantes, en particulier la méthode du lagrangien augmenté. La dernière partie constitue une conclusion des méthodes présentées dans [AF 1 404] [AF 1 406] comparées à celles présentées dans cet article. Après avoir évoqué quelques grands types d’applications, on indiquera quelques généralités sur les méthodes de résolution des équations de Navier-Stokes en précisant notamment la structure d’un code de mécanique des fluides ; puis on décrira des codes industriels basés, d’une part, sur l’utilisation des volumes finis et, d’autre part, sur celle des éléments finis, ce qui permettra de dégager quelques critères de choix vis-à-vis de l’utilisation de l’une ou l’autre de ces méthodes.

Après une conclusion générale cet article sera complété par deux annexes, la première permettant de rappeler la définition de quelques espaces fonctionnels, en particulier les espaces de Sobolev ainsi que les propriétés de ces espaces, tout au moins les plus simples, et la seconde annexe rappelant le théorème de la divergence et la formule de Green adaptée à la mise sous forme variationnelle des équations de Stokes et de Navier-Stokes.