Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
La résolution des équations de Navier-Stokes par différences finies est présentée. Divers concepts sont présentés ainsi que le modèle mathématique régissant le comportement d’un fluide ; des cas particuliers de formulation des équations de Navier-Stokes sont indiqués. On considère deux formulations distinctes pour résoudre le problème cible ; d’une part la formulation courant-vorticité pour calculer un écoulement 2D où on a à résoudre simplement une équation de Poisson couplée à une équation de convection-diffusion. Une autre méthode permet aussi de résoudre les équations cibles formulées en vitesse-pression. Dans les deux cas l’analyse numérique des algorithmes est présentée. La dernière partie présente la résolution des équations de Navier-Stokes en régime turbulent.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Pierre SPITERI : Professeur émérite - Université de Toulouse, INP – ENSEEIHT – IRIT, Toulouse, France
INTRODUCTION
Les équations de Navier-Stokes modélisent de nombreux phénomènes intervenant lors de l’étude d’écoulements. On peut citer entre autres les écoulements intervenant dans les circuits de refroidissement présents dans des chaudières, des réacteurs, l’aérodynamisme externe de véhicules comme les automobiles, les trains, les avions au moment du décollage, l’aérodynamisme interne des moteurs notamment dans les tuyères, les chambres de combustion, l'étude en cardiologie de la propagation du sang dans les veines ainsi que dans une certaine mesure les prévisions météorologiques, celle des courants marins, l’hydrologie, etc.
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MOTS-CLÉS
formulation courant-vorticité équation de convection-diffusion comportement d'un fluide formulation vitesse-pression
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Conclusion
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4. Modèle de turbulence
Les équations de Navier-Stokes modélisent aussi bien les écoulements laminaires que les écoulements turbulents. Dans le cas d’un écoulement turbulent les échelles de longueur et de temps sont tellement petites, qu’il est nécessaire de prendre, pour la discrétisation, un maillage extrêmement fin et des pas de temps extrêmement petits. Pour traiter de tels problèmes turbulents, compte tenu de la limitation de puissance des ordinateurs, il faut introduire un modèle macroscopique appelé aussi modèle de turbulence qui permet de prendre en compte ces phénomènes de petites échelles. Ces modèles de turbulence ont été introduits initialement par Reynolds. Pour de tels modèles on écrit la vitesse et la pression comme la somme d’une valeur moyenne et d’une perturbation oscillante, soit
où
et
représentent des valeurs moyennes sur un intervalle de temps T avec T supposé petit par rapport à l’échelle globale de temps mais grand par rapport à l’échelle de turbulence ; on a donc dans le cas bidimensionnel :
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Modèle de turbulence
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - AXELSSON (O.) - Iterative solution methods, - Cambridge Univ. Press (1994).
-
(2) - BELLET (M.), COMBEAU (H.), FAUTRELLE (Y.) et al - Call for contributions to a numerical benchmark problem for 2D columnar solidification of binary alloys, - Int. J. of thermal Sciences, vol. 48, pp. 2013 – 2016 (2009).
-
(3) - CHASSAING (P.) - Mécanique des fluides, - collection Polytech de l’INP – Toulouse, Cépadues (2010).
-
(4) - CHASSAING (P.) - Turbulence en mécanique des fluides, - collection Polytech de l’INP – Toulouse, Cépadues (2000).
-
(5) - COMBEAU (H.), BELLET (M.), FAUTRELLE (Y.) et al - Analysis of a numerical benchmark for columnar solidification of binary alloys, - Modeling of casting, welding and advanced processes (2012).
-
(6) - CUVELIER...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
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