Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
La résolution des équations de Navier-Stokes par différences finies est présentée. Divers concepts sont présentés ainsi que le modèle mathématique régissant le comportement d’un fluide ; des cas particuliers de formulation des équations de Navier-Stokes sont indiqués. On considère deux formulations distinctes pour résoudre le problème cible ; d’une part la formulation courant-vorticité pour calculer un écoulement 2D où on a à résoudre simplement une équation de Poisson couplée à une équation de convection-diffusion. Une autre méthode permet aussi de résoudre les équations cibles formulées en vitesse-pression. Dans les deux cas l’analyse numérique des algorithmes est présentée. La dernière partie présente la résolution des équations de Navier-Stokes en régime turbulent.
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The solution of the Navier-Stokes equations by finite differences method is presented. Various concepts are presented as well as the mathematical model governing the behavior of a fluid; particular cases of formulation of the Navier-Stokes equations are indicated. Two distinct formulations are considered to solve the target problem; on the one hand the current- vorticity formulation to compute a 2D flow where one has to solve simply a Poisson equation coupled to a convection-diffusion equation. Another method also allows to solve the target equations formulated in velocity-pressure. In both cases the numerical analysis of the algorithms is presented. The last part presents the solution of the Navier-Stokes equations in turbulent regime.
Auteur(s)
-
Pierre SPITERI : Professeur émérite - Université de Toulouse, INP – ENSEEIHT – IRIT, Toulouse, France
INTRODUCTION
Les équations de Navier-Stokes modélisent de nombreux phénomènes intervenant lors de l’étude d’écoulements. On peut citer entre autres les écoulements intervenant dans les circuits de refroidissement présents dans des chaudières, des réacteurs, l’aérodynamisme externe de véhicules comme les automobiles, les trains, les avions au moment du décollage, l’aérodynamisme interne des moteurs notamment dans les tuyères, les chambres de combustion, l'étude en cardiologie de la propagation du sang dans les veines ainsi que dans une certaine mesure les prévisions météorologiques, celle des courants marins, l’hydrologie, etc.
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MOTS-CLÉS
formulation courant-vorticité équation de convection-diffusion comportement d'un fluide formulation vitesse-pression
KEYWORDS
current-vorticity formulation | convection-diffusion equation | behavior of a fluid | formulation velocity-pressure
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Modèle mathématique régissant un fluide compressible ou incompressible
En anglais
6. Annexes
6.1 Annexe 1 : expression des équations de Navier-Stokes incompressible en coordonnées cylindriques et sphériques
-
Expression en coordonnées cylindriques
En coordonnées cylindriques, la position d’un point P est définie par les distances r et z et par l'angle θ (voir figure 12). Les composantes du vecteur vitesse dans ce repère sont désignées par ur , vθ , wz . L’expression des équations de Navier-Stokes incompressibles s’écrivent alors :
![]()
-
Expression en coordonnées sphériques
Un point P de l'espace est repéré dans ce système de coordonnées par la distance r à une origine et par deux angles φ (longitude) et θ (co-latitude) (voir figure 13). Les composantes du vecteur vitesse dans ce repère sont désignées par ur , vθ , wφ . L’expression des équations de Navier-Stokes incompressibles s’écrivent alors :
![]()
6.2 Annexe 2 : expression du laplacien, du rotationnel, de la divergence et du gradient en coordonnées cylindriques et sphériques
Dans la formulation courant-vorticité on est amené à résoudre une équation de diffusion couplée à une équation de convection-diffusion ; quelquefois, compte tenu de la géométrie du domaine Ω il est utile d’exprimer ces équations en coordonnées cylindriques et en coordonnées sphériques.
-
En coordonnées cylindriques
Pour simplifier les notations on omet dans la suite de préciser les indices r, θ et z des composantes considérées ; ainsi on a u
![]()
...
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Annexes
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - AXELSSON (O.) - Iterative solution methods, - Cambridge Univ. Press (1994).
-
(2) - BELLET (M.), COMBEAU (H.), FAUTRELLE (Y.) et al - Call for contributions to a numerical benchmark problem for 2D columnar solidification of binary alloys, - Int. J. of thermal Sciences, vol. 48, pp. 2013 – 2016 (2009).
-
(3) - CHASSAING (P.) - Mécanique des fluides, - collection Polytech de l’INP – Toulouse, Cépadues (2010).
-
(4) - CHASSAING (P.) - Turbulence en mécanique des fluides, - collection Polytech de l’INP – Toulouse, Cépadues (2000).
-
(5) - COMBEAU (H.), BELLET (M.), FAUTRELLE (Y.) et al - Analysis of a numerical benchmark for columnar solidification of binary alloys, - Modeling of casting, welding and advanced processes (2012).
-
(6)...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
-
Méthodes de Krylov pour la résolution des systèmes linéaires.
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Algorithmes numériques pour la résolution des grands systèmes.
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Algorithmes parallèles asynchrones (I) : modélisation et analyse.
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