Modélisation d'un étage d'extraction liquide-liquide
Transfert de matière - Applications des modèles cinétiques aux opérations compartimentées

Le modèle de l'étage idéal (ou théorique) suppose que les phases issues de l'étage sont en équilibre thermodynamique. Ainsi, la donnée des débits et des compositions des flux à l'entrée de l'étage suffit donc à déterminer les débits et les compositions des flux de sortie.

Pour un étage réel, l'équilibre thermodynamique n'est pas atteint. Le dimensionnement de l'étage nécessite des données sur la cinétique du transfert de matière entre les deux phases. Mais cela ne suffit pas. En effet, entre les grandeurs caractéristiques de l'équilibre thermodynamique et les données cinétiques, il y a une différence fondamentale qui confère une complexité essentielle à tout modèle où l'équilibre thermodynamique n'est pas atteint :

• dans le premier cas, l'équilibre de partage entre deux phases est le même quelle que soit la façon dont il est atteint ; il peut être aisément déterminé par l'expérimentation ou accessible dans des banques de données ;

• dans le second cas, la quantité de matière totale transférée d'une phase à l'autre au cours d'une opération dépend de la vitesse à laquelle le transfert de matière s'effectue en tout point. Cette vitesse locale dépend à son tour de l'écart à l'équilibre, des concentrations des deux phases et donc de la mise en œuvre du contact et de la circulation des fluides dans l'étage.

Pour pouvoir utiliser efficacement les données cinétiques, il faut donc connaître les écoulements dans l'appareil considéré ou, à défaut de les connaître, faire des hypothèses sur leur nature. À cet égard, nous utiliserons les mêmes modèles d'écoulement que ceux adoptés pour le calcul des réacteurs chimiques (écoulement « parfaitement agité », écoulement « piston », modèle « piston-dispersion »…) (voir [J 1 070, § 3]).

Le calcul des opérations non idéales repose donc sur l'utilisation des mêmes bilans matière que ceux utilisés pour le calcul des opérations idéales (bilan global, bilan opératoire entre une extrémité de l'appareil et un point courant…), mais il faudra toujours y adjoindre un bilan particulier, qui permet d'utiliser conjointement la connaissance que l'on a (ou les hypothèses que l'on est amené à faire) sur les phénomènes cinétiques et les écoulements dans l'appareil (voir [J 1 075]).

Ce bilan est établi sur l'une des phases. Il exprime la variation de flux du constituant privilégié dans l'une des phases, qui est due au transfert de ce constituant d'une phase à l'autre. Ce bilan doit donc être établi sur un intervalle de temps et une surface d'échange où le flux spécifique de matière est uniforme.

Nous nous limiterons à l'étude des opérations en régime stationnaire. Comme toutes les autres grandeurs, les flux spécifiques sont alors constants au cours du temps et l'intervalle de temps le plus approprié est l'unité de temps.

La surface d'échange doit être associée à un volume d'appareil. On admet en général que l'aire d'interface est proportionnelle au volume utile d'appareil. La détermination du volume dans lequel le flux spécifique est uniforme est le point le plus délicat de ces calculs : il n'y a aucune règle générale. Tout au plus sait-on, lorsque l'on se limite aux écoulements idéaux, que toutes les grandeurs physiques sont uniformes à l'intérieur de l'appareil ou de la portion d'appareil où l'écoulement est « parfaitement agité » et que ces mêmes grandeurs ne sont fonction que d'une coordonnée d'espace quand l'écoulement est « piston ».

Nous avons pris le parti d'utiliser le plus possible les écoulements idéaux pour deux raisons : la simplicité des calculs qu'ils autorisent et l'intérêt des résultats qu'ils permettent d'atteindre. Le choix de la nature de la phase sur laquelle on mène le calcul, repose souvent sur des considérations liées à la nature des écoulements. On cherche à alléger les calculs en utilisant au mieux les propriétés de ces écoulements. Toujours pour alléger les calculs, nous avons systématiquement utilisé des hypothèses simplificatrices relatives notamment à l'invariance des débits à travers l'étage considéré.

À noter également qu'en régime stationnaire, l'exploitation d'une cinétique et de modèles d'écoulement ne conduit pas à la détermination explicite d'un temps, mais d'un volume. Ce volume peut cependant être associé à des temps de séjour moyens, un par phase.

Nous allons appliquer cette approche aux opérations compartimentées. Le but poursuivi est double : didactique d'abord, car c'est avec ces opérations que les notions présentées ci-dessus sont mises en œuvre le plus simplement, pratique ensuite, car ces applications souvent négligées ont un intérêt indéniable, même (et peut-être surtout !) quand les conclusions que l'on en peut tirer ne sont que qualitatives.