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Auteur(s)
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Jacques POIRIER : Ingénieur de l’École Centrale de Paris – Docteur Ingénieur - Chargé de mission auprès des Secrétaires Perpétuels de l’Académie des Sciences - Conseiller du Directeur des Réacteurs Nucléaires du Commissariat à l’Énergie Atomique - Chargé de cours au Conservatoire National des Arts et Métiers
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Bien souvent, les informations que doit traiter l’ingénieur concernent une variable aléatoire, à propos de laquelle il ne dispose pas d’élément théorique permettant de déterminer a priori – par le raisonnement seul – l’espérance mathématique ou l’écart-type.
Dès lors, il doit faire appel à la notion d’estimateur, construite à partir de résultats d’essais nécessairement partiels, et à la formulation « d’hypothèses » que l’analyse statistique le conduira à rejeter ou à ne pas rejeter. Toutes les décisions qu’il prendra à l’aide de ces outils seront assorties d’un risque – consenti – clairement chiffré.
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Lois particulières utilisées dans les estimations
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1. Estimateurs
1.1 Notion physique d’estimateur
Pour diverses raisons, l’ingénieur est contraint de se contenter d’une fraction des renseignements qu’il pourrait recueillir si la technique était plus performante ou s’il avait plus de temps, plus d’argent… Il est ainsi contraint de fonder sa décision non pas sur l’examen le plus large possible de la population de référence, mais uniquement sur l’échantillon dont il dispose. Notons qu’un tel échantillonnage est parfois inéluctable, pour des raisons physiques (contrôle géométrique sphérique, contrôle des caractéristiques des flux de particules solides en lit fluidisé, etc.).
Un exemple caractéristique est celui de la détection des fissures par contrôle non destructif (figure 1) : une fissure dans l’épaisseur d’une tôle est plus aisément détectée par rayonnement (radiographie ou gammagraphie) si elle est perpendiculaire aux faces de la tôle, alors qu’une fissure presque parallèle aux faces de la tôle est plus aisément détectée par ultrasons. Il s’agit d’un cas pédagogiquement intéressant, car les procédés physiques disponibles constituent par eux‐mêmes une sorte d’échantillonnage.
Enfin, on n’aurait garde d’oublier le cas des appareils monocoups, comme les cartouches pyrotechniques ouvrant les robinets d’aspersion d’eau en cas d’alerte d’incendie, qui – par définition – ne peuvent pas faire l’objet d’un examen exhaustif, puisqu’ils sont détruits au cours de leur unique fonctionnement.
La méthode habituelle d’estimation consiste, une fois choisi le type de loi de probabilité, à déterminer les paramètres, et tout spécialement l’espérance mathématique et l’écart-type. D’une telle façon, l’ingénieur doit répondre aux deux questions primordiales :
-
quelle est la valeur la plus probable que prendra la valeur aléatoire étudiée ? La réponse est l’estimation ponctuelle ;
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quelles sont les limites – borne inférieure et borne supérieure – entre lesquelles se trouve une proportion donnée (1 – α) de la population au sein de laquelle a été prélevé l’échantillon ? La réponse est l’estimation...
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