Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Cet article présente les équations de la dynamique rationnelle dans les formalismes vectoriels et analytiques, pour une utilisation combinée. Cette approche aboutit à la formalisation de la dynamique développée par Kane pour les systèmes articulés, dynamique particulièrement bien adaptée à la modélisation et à la commande des systèmes robotiques. Partant des théorèmes généraux, de leur déclinaison analytique par le biais des puissances virtuelles, en passant par les explicitations particulières sous forme intégrale, les équations de Hamilton et Appell constituent une étape importante pour les systèmes conservatifs et cinématiques. Les grandeurs utiles sont explicitées dans le cas fréquent où le système considéré se réduit à un solide indéformable. Pour terminer, les équations de Kane font l'objet d'une présentation spécifique.
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This article presents the dynamic equations in the rational and analytic vector formalisms of Lagrange, Hamilton and Appell for combined use. This approach leads to the formalization of the dynamics developed by Kane for articulated systems, particularly well suited to the modeling and control of robotic systems. The general theorems of solid mechanics, in their local and integral explanations, then declined in terms of virtual powers, are followed by the corresponding analytical equations of Hamilton and Appell which constituted a major step for conservative and kinematic systems. The significant uses are then explained in a common case where the system under consideration is single rigid and solid. Kane's equations are the subject of a specific presentation.
Auteur(s)
-
Yves GOURINAT : Professeur de mécanique des structures, Institut supérieur de l'aéronautique et de l'espace
-
Jean-Pierre CHRÉTIEN : Ingénieur de recherches, Office national d'études et de recherches aérospatiales
INTRODUCTION
L'objectif de cet article est de présenter les formulations générales de mise en équations des systèmes mécaniques à nombre fini de degrés de liberté, permettant la représentation paramétrique des mécanismes et éléments structuraux dans leur fonctionnement dynamique. Il complète ainsi l'article [A 1 666] « Mécanique générale – Dynamique générale. Forme analytique » de Jean-Pierre BROSSARD, qui présente des exemples de mécanismes résolus. Les systèmes d'équations présentés dans le présent article font le bilan de l'ensemble des modélisations réalisables selon cinq formalismes successifs.
Les deux premiers paragraphes constituent un mémento de mécanique analytique, reprenant les développements classiques partant de la dynamique classique de Newton dans son approche vectorielle et aboutissant au formalisme canonique de Hamilton, par l'intermédiaire des équations de Lagrange. L'approche en puissance – réelle puis virtuelle – permet progressivement de passer à une présentation entièrement scalaire et paramétrée. Elle est complétée par la présentation du formalisme de Kane, approche vectorielle qui s'appuie sur un paramétrage des vitesses et non pas des positions. Elle s'applique aux systèmes rationnels décrits par un nombre fini de degrés de liberté, typiquement les systèmes constitués de solides indéformables reliés par des liaisons géométriques ou des éléments souples sans inertie. Le paragraphe 2.3 présente spécifiquement le formalisme de Kane adapté à la robotique et à la commande de systèmes. L'ensemble des développements présentés concerne les systèmes dynamiques rationnels les plus généraux, linéaires et non linéaires, conservatifs ou non, chargés, contraints ou libres. Le paragraphe 3 explicite le cas du solide unique, et un schéma méthodologique récapitulant les différents formalismes conclut cet article.
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Grandeurs associées au solide indéformable
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2. Dynamique analytique
2.1 Formalisme de Lagrange
Dans ce paragraphe, la formulation en déplacement permet, à partir du principe scalaire des puissances virtuelles, d'écrire directement les équations dynamiques du mouvement. Ces équations donnent lieu à une analyse des liaisons et des intégrales premières qui généralise l'approche précédente par les théorèmes généraux.
HAUT DE PAGE2.1.1.1 Paramètres et variables de Lagrange
Un système dynamique discret est un système rationnel constitué de solides indéformables reliés par des éléments déformables sans inertie, ou un système continu représenté par un nombre fini de degrés de liberté. Les paramètres utilisés par Lagrange pour décrire sa configuration à un instant donné sont les paramètres géométriques qj (t ) (j = 1,..., n0), définis comme des distances ou des angles exclusivement, repérant la position des solides dans le cas du système rationnel :
avec :
- qj ( t ) :
- distance variable entre deux points matériels du système ou angle variable formé par deux paires de points matériels du système,
- n0 :
-
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.
.Les équations dynamiques étant de degré deux, l'état du système est décrit par les 2n 0 + 1 variables :
...
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Dynamique analytique
BIBLIOGRAPHIE
ANNEXES
KANE (T.R.) - Dynamics of non holonomic systems. - Journal of Applied Mechanics, 28, p. 574-578, déc. 1961.
KANE (T.R.) - LEVINSON (D.-A.) - Formulation of equations of motions for a complex spacecraft. - Journal of guidance, Control and Dynamics, 3(2), mars-avr. 1980.
KANE (T.R.) - LEVINSON (D.-A.) - Dynamics : theory and applications. - McGraw-Hill, New York (1985).
VON FLOTOW (A.-H.) - ROSENTHAL (D.) - Multi-body dynamics : an algorithmic approach based upon Kane's equations. - École d'Été, Onera, Toulouse (1990).
BÉREST (P.) - Calcul des variations – Application à la mécanique et à la physique. - Cours de l'École Polytechnique – 978-2-7298-9704-8 (1997).
POTEL (C.) - Principes et applications de mécanique analytique. - ISBN 2.85428.742., Cepadues (2006).
KANE (T.R.) - RYAN (R.R.) - BANERJEE (A.K.) - Dynamics of a cantilever beam attached to a moving base. - Journal of Guidance, Control and Dynamics, 10(2) : 139-151, 1987.
CUMER (Ch.) - CHRÉTIEN (J.-P.) - Minimal LFT form of a spacecraft built up from two bodies. - In : AIAA Guidance, Navigation and Control Conference, Montréal, Québec, Canada, 6-9 August 2001. AIAA.
TANTAWI (Kh.)(C.) - ALAZARD (D.) - CUMER (Ch.) - Linear modeling of spacecraft with various flexible appendages. - In : IFAC World Congress 2008, Séoul, Corée du Sud, 6-11 July 2008. IFAC.
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