Formalismes de la dynamique rationnelle des systèmes mécaniques : de Newton à Kane

L'objectif de cet article est de présenter les formulations générales de mise en équations des systèmes mécaniques à nombre fini de degrés de liberté, permettant la représentation paramétrique des mécanismes et éléments structuraux dans leur fonctionnement dynamique. Il complète ainsi l'article [A 1 666] « Mécanique générale – Dynamique générale. Forme analytique » de Jean-Pierre BROSSARD, qui présente des exemples de mécanismes résolus. Les systèmes d'équations présentés dans le présent article font le bilan de l'ensemble des modélisations réalisables selon cinq formalismes successifs.

Les deux premiers paragraphes constituent un mémento de mécanique analytique, reprenant les développements classiques partant de la dynamique classique de Newton dans son approche vectorielle et aboutissant au formalisme canonique de Hamilton, par l'intermédiaire des équations de Lagrange. L'approche en puissance – réelle puis virtuelle – permet progressivement de passer à une présentation entièrement scalaire et paramétrée. Elle est complétée par la présentation du formalisme de Kane, approche vectorielle qui s'appuie sur un paramétrage des vitesses et non pas des positions. Elle s'applique aux systèmes rationnels décrits par un nombre fini de degrés de liberté, typiquement les systèmes constitués de solides indéformables reliés par des liaisons géométriques ou des éléments souples sans inertie. Le paragraphe 2.3 présente spécifiquement le formalisme de Kane adapté à la robotique et à la commande de systèmes. L'ensemble des développements présentés concerne les systèmes dynamiques rationnels les plus généraux, linéaires et non linéaires, conservatifs ou non, chargés, contraints ou libres. Le paragraphe 3 explicite le cas du solide unique, et un schéma méthodologique récapitulant les différents formalismes conclut cet article.