Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Le dimensionnement des produits mécaniques et des ouvrages de génie civil reste assez incertain. La connaissance experte a permis de rédiger des codes et règlements qui assurent un conservatisme, souvent excessif, rarement insuffisant. L'approche probabiliste apporte une précision supplémentaire en s'appuyant sur la statistique et les probabilités pour enrichir le modèle d'expertise. Cet article propose une introduction à la démarche en rappelant tout d'abord le contexte culturel et les bases nécessaires des probabilités et de la statistique. Il définit ensuite les analyses de sensibilité et de fiabilité puis expose la méthode de simulation de Monte-Carlo. Un exemple mécanique simple sert de fil conducteur et illustre la mise en oeuvre de la simulation.
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Designing mechanical products and civil engineering structures is faced with the uncertainty. The know-how allows the experts the writing of codes and rules which ensure a conservatism, often excessive, seldom insufficient. The probabilistic approach brings an additional precision while being based on the statistics and the probabilities to enrich the knowledge model. This article proposes an introduction to the approach by first of all pointing out the cultural context and the useful bases of the probabilities and the statistics. It defines then the sensitivity and reliability analyses and the Monte-Carlo simulation method is developed. A simple mechanical system is used as reference example and illustrates the simulation implementation.
Auteur(s)
-
Maurice LEMAIRE : Professeur émérite à l'Institut français de mécanique avancée - Conseiller scientifique de Phimeca Engineering
INTRODUCTION
L'art du concepteur consiste à proposer une solution technique qui satisfait aux exigences fonctionnelles et qui garantit la sécurité vis-à-vis des biens, des personnes et de l'environnement. Les exigences fonctionnelles doivent s'assurer du bon fonctionnement des systèmes considérés, et parmi celles-ci de la fiabilité, c'est-à-dire de l'aptitude d'un dispositif à accomplir une fonction requise dans des conditions données, pendant une durée donnée. Le rôle du concepteur est alors de dimensionner de manière optimale en justifiant une fiabilité suffisante en fonction des risques, c'est-à-dire des conséquences redoutées par l'occurrence d'un événement indésirable : une fiabilité absolue ne peut pas exister et il subsiste toujours une possibilité d'échec. On peut dire aujourd'hui que le principe de précaution ne consiste qu'en la démonstration que toutes les connaissances actuelles ont été mises en œuvre pour que le gain obtenu par le succès du dispositif soit suffisant pour accepter le coût de l'échec éventuel dû à son dysfonctionnement.
Ces quelques lignes situent le cadre de la démarche : elle propose une approche de la fiabilité théorique des systèmes mécaniques mais il faut noter qu'elle est susceptible d'applications dans bien d'autres domaines. Par fiabilité théorique, il faut comprendre tout ce que la modélisation permet de simuler pour prévoir les comportements possibles. Elle complète la fiabilité pratique qui est assimilée à la démarche qualité : la fiabilité théorique est conditionnée par la fiabilité pratique, par l'assurance qualité. Concevoir un système mécanique et calculer ses paramètres constituent une recherche d'un dimensionnement dont il faut justifier la fiabilité.
Ce dossier est divisé en deux articles. Le premier [BM 5 003] traite de la modélisation de l'incertain à travers les notions nécessaires de probabilités et de la statistique. Il vise à convaincre de la nécessité d'une approche probabiliste en conception mécanique et il est illustré par la méthode de Monte-Carlo. Le deuxième [BM 5 004] s'intéresse aux méthodes d'approximation résistance – contrainte, dont le schéma élémentaire est généralisé, et aux méthodes par indices de fiabilité. Il montre comment utiliser les résultats d'analyses mécano-fiabilistes comme aide à une conception fiable. Un exemple simple est mis en œuvre pour illustrer les concepts. Il ouvre enfin sur quelques perspectives.
L'expertise technique et scientifique de référence
KEYWORDS
probabilistic methods | design | simulation | Civil engineering | mechanical engineering
VERSIONS
- Version archivée 1 de janv. 2008 par Maurice LEMAIRE
DOI (Digital Object Identifier)
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Approche probabiliste de l'incertain
En anglais
3. Méthode de Monte-Carlo
La méthode de Monte-Carlo constitue une approche simple, mais pas nécessairement efficace, consistant à simuler les variables aléatoires. Cette partie présente tout d'abord la génération de nombres pseudo-aléatoires puis sa mise en œuvre pour les analyses de sensibilité et de fiabilité. Elle est illustrée par l'exemple des deux barres.
3.1 Échantillon d'une variable aléatoire de loi donnée
3.1.1 Nombres pseudo-aléatoires uniformes
Une suite u i de nombres pseudo-aléatoires uniformes est un échantillon uniformément distribué sur un intervalle, en général [0, 1[. Le processus est initié par une semence u 0 . Chaque semence engendre une suite déterministe, d'où l'expression de nombres pseudo-aléatoires, mais le choix de la semence peut être confié à un aléa : par exemple à partir des secondes de l'horloge du calculateur. La plupart des logiciels de calcul et même certaines calculettes possèdent une fonction de génération sous les noms RANDOM, RND, RAN, ALÉATOIRE...
De part sa construction mathématique, un générateur possède certaines propriétés :
-
périodicité : le codage numérique est effectué sur un nombre fini de bits et trouver la période p tel que : u i + p = u i est possible. Il est bien sûr nécessaire de disposer d'un générateur dont la période est largement supérieure à la taille de l'échantillon. La période du générateur « Mersenne Twister » de Matsumoto et Nishimura est 219 937 – 1 ;
-
indépendance...
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Méthode de Monte-Carlo
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - LEMAIRE (M.) - Fiabilité des Structures – Couplage Mécano-Fiabiliste Statique - . Hermès Science Publication. En collaboration avec A. Chateauneuf et J.C. Mitteau (2005), Traduction : Structural Reliability, ISTE/Wiley (2009).
-
(2) - SCHUËLLER (G.I.), PELLISSETTI (M.F.) - Special issue on general purpose software in structural reliability. - Structural Safety, 28 (2006).
-
(3) - MATSUMOTO (M.), NISHIMURA (T.) - Mersenne twister : A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number generator - . ACM Trans. on Modeling and Computer Simulation, 8(1), p. 3-30, janv. 1998.
-
(4) - Collectif. Aide-mémoire statistique - . CISIA CERESTA, Saint-Mandé (1995).
-
(5) - LEMAIRE (M.) - Mécanique et Incertain - , Hermes-Focus. Traduction : Mecanics and Uncertainty, ISTE/Wiley (2014).
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
The Dakota project : Large-Scale Engineering Optimization and Uncertainty Analysis. https://dakota.sandia.gov/
FERUM – Finite Element Reliability Using Matlab. http://www.ifma.fr/lang/en/Recherche/Labos/FERUM
OpenTURNS ( http://www.openturns.org/), issue d'une collaboration en France (EDF, EADS, Phimeca Engineering), librairie scientifique libre de modules en langage Python.
Phimeca-Soft – http://www.phimeca.com/?q=fr/phimeca_soft – Version 3.0 : sur base OpenTURNS
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Eurocode 0 : Bases de calcul des structures (EN 1990) – http://www.afnor.org/profils/activite/construction/les-eurocodes/les-eurocodes
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