Article de référence | Réf : BM5028 v1

Méthodes d'éléments finis stochastiques
Approche pratique des éléments finis stochastiques - Variables aléatoires

Auteur(s) : Maurice LEMAIRE

Date de publication : 10 avr. 2015

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RÉSUMÉ

La méthode des éléments finis (MEF) est un outil essentiel des solutions numériques des modèles de la mécanique. Elle s'appuie sur des données soumises à une forte incertitude représentée par un modèle probabiliste. Les données sont alors des variables aléatoires. La méthode des éléments finis stochastiques s'intéresse à leur propagation sur les propriétés stochastiques des variables d'intérêt (moyenne, variance...). Après un bref rappel des notations de la MEF, l'article décrit et illustre la construction du modèle stochastique des données puis présente les méthodes des perturbations et du chaos polynomial, bien adaptées à l'analyse de sensibilité. Il conclut sur leur intérêt et leurs limites pour les analyses de sensibilité et de fiabilité en conception mécanique.

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ABSTRACT

The finite element method (FEM) is an essential tool for obtaining numerical solutions in mechanics models. It is supported by data subject to high uncertainty, represented by a probabilistic model. The data thus comprises random variables. The stochastic finite element method addresses their propagation on the stochastic properties of variables of interest (mean, variance, etc.). After a brief review of FEM notation, the article describes and illustrates the construction of the stochastic data model. It goes on to present the disturbance and polynomial chaos methods, which are well-suited to sensitivity analysis. It concludes on their usefulness and limits for analysis of sensitivity and reliability in mechanics design.

Auteur(s)

  • Maurice LEMAIRE : Professeur émérite à l'Institut français de mécanique avancée - Conseiller scientifique de Phimeca Engineering, Aubière/Cournon, France

INTRODUCTION

La méthode des éléments finis s'est imposée comme un outil majeur de la représentation numérique des comportements en mécanique et plus largement en physique. Si les modèles sont maintenant de plus en plus évolués, incluant des hypothèses de plus en plus larges et exigeant des ressources de calcul de plus en plus grandes, ils ne font que calculer avec quatorze chiffres significatifs une réponse pour laquelle le concepteur ne dispose que de peu d'information sur les données. La théorie des probabilités offre un moyen de représenter l'incertitude de celles-ci par des variables ou des champs aléatoires. Les quantités d'intérêt résultant du calcul (contraintes, déplacements...) sont donc également aléatoires et la question est alors celle de la propagation des entrées dans le modèle de comportement, supposé représenter au mieux la réalité physique. De ces constatations est née la méthode des éléments finis stochastiques (MEFS, en anglais SFEM : « Stochastic Finite Element Method »), terme large regroupant différentes approches selon qu'elles concernent les variables ou les champs, les phénomènes statiques ou dynamiques.

L'objectif est donc simple dans son principe : connaissant le modèle stochastique des données, comment calculer le modèle de la réponse en sortie ; mais il implique des méthodologies complexes selon le but poursuivi. L'analyse de sensibilité recherche les propriétés centrales (moyenne, médiane ou variance de variables aléatoires) alors que l'analyse de fiabilité s'intéresse aux quantiles extrêmes et va jusqu'à rechercher la loi de probabilité. De par son caractère global, la méthode des éléments finis stochastiques est particulièrement bien adaptée à l'analyse de sensibilité.

L'héritage actuel des codes de calcul par éléments finis est considérable. C'est pourquoi une MEFS s'appuyant directement sur la très grande expertise de ceux-ci est proposée même si elle limite les possibilités de représentation de l'incertain. Elle est dite non intrusive car elle découple la résolution du modèle mécanique – le code de calcul est utilisé sans modifications – de celle du modèle stochastique. La méthode intrusive quant à elle, intègre le modèle stochastique dans les équations de la mécanique et oblige à modifier en profondeur le code de calcul. La MEFS non intrusive est la seule abordée dans cet article qui reste limité aux variables aléatoires après discrétisation.

Après un premier paragraphe rappelant les principes et les notations du modèle des éléments finis, le modèle stochastique des données est introduit dans un second paragraphe. La troisième paragraphe décrit les méthodes proposées : perturbation et chaos polynomial ; en les illustrant sur un exemple mécanique simple. Quelques champs d'applications sur des questions industrielles sont présentés en quatrième paragraphe et un exemple d'étude réelle commenté. Enfin, le dernier paragraphe discute l'intérêt et les limites de la MEFS pour les analyses de sensibilité et de fiabilité en conception mécanique. Il conclut par des perspectives.

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KEYWORDS

Numerical modelization   |   Probability

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-bm5028


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3. Méthodes d'éléments finis stochastiques

Les paragraphes précédents ont précisé la position du problème qui est résumé ainsi :

Soit {X  } un vecteur de variables aléatoires de dimension nva, une matrice de rigidité K ({X  }) et un vecteur des actions F ({X  }), trouver les propriétés stochastiques du vecteur q ({X  }) tel que K ({X  }) q ({X  }) = F ({X  }).

Ce paragraphe examine les solutions par la méthode des perturbations et le chaos polynomial.

3.1 Méthode des perturbations

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3.1.1 Développement de Taylor

La méthode des perturbations consiste à supposer que l'effet de l'aléa constitue une faible variation autour d'une valeur de référence, en général la moyenne. Pour cela, les variables aléatoires de conception {X  } sont remplacées par des variables centrées {α } = {X  } – {m {X  } }. Un développement de Taylor est alors effectué. La relation (5) est notée en explicitant les v.a. :

( 8 )

où les indices ne sont ensuite écrits que pour les nva variables aléatoires αi alors que les indices des composantes de K de dimension (lib, lib ), q (lib ) et F (lib ) sont systématiquement omis.

On note, pour une variable V quelconque :

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - BATOZ (J.-L.), DHATT (G.) -   Modélisation des structures par éléments finis.  -  Hermès (1995).

  • (2) - De ROCQUIGNY (E.), DEVICTOR (N.), TARANTOLA (S.) -   Uncertainty in industrial practice – A guide to quantitative uncertainty management.  -  John Wiley & Sons (2008).

  • (3) - LEMAIRE (M.) -   Mécanique et incertain.  -  ISTE (2014).

  • (4) - GHANEM (R.G.), SPANOS (P.D.) -   Stochastic finite elements : a spectral approach.  -  Springer, Berlin (1991).

  • (5) - LEMAIRE (M.) -   Fiabilité des structures – Couplage mécano-fiabiliste statique.  -  Hermès Science Publication (2005).

  • (6) - LI (C.C.), Der KIUREGHIAN (A.) -   Optimal discretization of random fields.  -  J. Eng. Mech., 119(6), p. 1136-1154 (1993).

  • ...

1 Outils logiciels

PhimecaSoft – Version 3.0 : sur base Open-TURNS http://www.phimeca.com/fonctionnalites-de-phimecasoft

MATLAB http://www.mathworks.fr/products/matlab

Scilab http://www.scilab.org/fr

FERUM https://www.sigma-clermont.fr/en/ferum

OpenTURNS, issue d'une collaboration en France (EDF, EADS, Phimeca Engineering), librairie scientifique libre de modules en langage Python ( http://www.python.org/) http://www.openturns.org/

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2 Annuaire

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2.1 Organismes – Fédérations – Associations (liste non exhaustive)

Association française de mécanique, groupes scientifiques et techniques : mécanique et incertain http://www.afm.asso.fr/GroupesetCommissions/ GroupesScientifiquesetTechniques/ page consultée le 1er avril 2014 http://www.gst-mi.fr page consultée le 19 mai 2014

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