Analyse de stabilité – Domaine fréquentiel
Systèmes à retard - Modélisation, analyse et contrôle

La théorie des systèmes est une discipline fondamentale qui abstrait les processus du monde réel en « systèmes », une perspective désormais omniprésente dans des domaines tels que la physique, la chimie, la biologie, l’ingénierie et l’économie. Un système comprend un état définissant sa configuration actuelle, des entrées représentant des influences externes et des sorties démontrant ses effets sur l’environnement. Ce cadre est soutenu par des méthodes efficaces pour la représentation, la simulation, l’analyse et le contrôle de tels systèmes.

En ce qui concerne leur représentation, les équations différentielles ont longtemps été mises en avant pour leur capacité à décrire avec précision les phénomènes physiques, décrivant des comportements simples, tels que la convergence vers un point d’équilibre, mais aussi des comportements plus complexes, tels que la multistabilité, les oscillations et même le chaos. En conséquence, une multitude de méthodes pour leur simulation et leur analyse qualitative ont été développées et sont maintenant bien établies – la théorie de la stabilité de Lyapunov étant l’une d’elles. Malgré cela, ce domaine reste actif, en raison de sa richesse et de sa large applicabilité.

Le contrôle des systèmes décrits par des équations différentielles – consistant à trouver des entrées de système appropriées pour imposer un comportement souhaité au système contrôlé – est également bien établi et bénéficie d’un riche éventail d’outils allant des techniques en domaine fréquentiel aux méthodologies en domaine temporel.

Les équations différentielles à retard, un développement plus récent, incorporent des valeurs passées aux côtés des états et des entrées actuels. Ces valeurs passées sont souvent le résultat d’effets de propagation ou de mémoire au sein du système et de son interaction avec son environnement. Les systèmes décrits par de telles équations différentielles à retard sont appelés « systèmes à retard ». La présence de retards ajoute de la complexité à leur comportement et nécessitant ainsi des outils plus sophistiqués pour leur analyse par rapport à ceux décrits par des équations différentielles ordinaires.

Comme on peut s’y attendre, contrôler de tels systèmes peut également poser des défis significatifs car l’historique du processus joue désormais un rôle majeur dans son évolution future. Ainsi, des retards plus longs posent souvent des risques plus importants que des retards courts : il est certainement plus difficile de conduire un véhicule avec un délai d’actionnement plus long qu’avec un court, et l’on peut facilement sentir ici l’existence d’un compromis entre la vitesse et le délai d’actionnement qui garantirait un profil de sécurité souhaité pour le véhicule contrôlé. À cet égard, il est naturellement attendu que certaines propriétés du système, telles que sa stabilité, dépendent désormais de la valeur des retards.

L’objectif de cet article est de donner aux lecteurs un aperçu du domaine des systèmes à retard à travers le prisme de la théorie des systèmes et du contrôle, et de leur fournir les outils de base pour les représenter, les analyser et les contrôler, dans l’espoir de clarifier comment de tels systèmes doivent être traités d’un point de vue théorique, computationnel et pratique.

La structure de l’article est la suivante. Le chapitre 1 introduit diverses familles de systèmes à retard, les différents types de retards ainsi que plusieurs exemples illustratifs en se concentrant sur le cadre basé sur les équations différentielles fonctionnelles, qui sont une extension plutôt immédiate des équations différentielles ordinaires. Ce cadre a l’avantage d’être accessible car il ne nécessite pas beaucoup plus de connaissances au-delà de celles des équations différentielles ordinaires, comme le montre le chapitre 2. Les différences commencent à apparaître lorsqu’on examine les outils nécessaires pour caractériser qualitativement et quantitativement les propriétés de stabilité de leurs solutions.

Les chapitres 3 et 4 introduisent de tels outils d’analyse, respectivement dans le domaine fréquentiel et dans le domaine temporel. Ces outils peuvent être à la fois appliqués de manière analytique pour obtenir des résultats théoriques sur des problèmes simples ou convertis en méthodes numériques pour traiter des problèmes plus complexes. Les méthodes en domaine fréquentiel étendent les techniques standards, en incorporant des approches ad hoc, telles que les méthodes de substitution de retard, les méthodes de franchissement de stabilité, les méthodes de balayage fréquentiel ou les méthodes d’analyse robuste, toutes convertibles en algorithmes de vérification de la stabilité. Les méthodes en domaine temporel réinterprètent soit les conditions en domaine fréquentiel dans le domaine temporel, soit consistent en des extensions des méthodes d’analyse en domaine temporel initialement développées pour les systèmes sans retard.

Les chapitres 5 et 6 étendent ces outils d’analyse pour aborder le problème de la stabilisation des systèmes à retard, respectivement dans le domaine fréquentiel et dans le domaine temporel. Une fois de plus, des méthodes computationnelles seront mises en avant. Diverses structures de contrôleurs, telles que les contrôleurs à retour de sortie et à retour d’état, les contrôleurs PID et les contrôleurs basés sur le retard, sont discutées pour des raisons d’exhaustivité. Des exemples illustratifs et des extraits de code sont fournis tout au long de l’article.