Fonctions aléatoires

De nombreux phénomènes physiques, ainsi que la plupart des chaînes de mesure, mettent en jeu des variables aléatoires qui dépendent d’un paramètre déterministe.

Ces processus particuliers appartiennent à la classe des fonctions aléatoires, dont l’exemple le plus concret est représenté par les signaux où le paramètre déterministe n’est autre que la variable temps. Les fonctions aléatoires jouissent de propriétés remarquables qui en simplifient souvent l’étude et la caractérisation. La propriété la plus usuelle est la stationnarité puisqu’elle consiste à reconnaître une quasi-invariance du comportement statistique de la variable aléatoire quelle que soit la valeur attribuée au paramètre déterministe 1. Autrement dit, un signal aléatoire est stationnaire si les moments et la densité de probabilité sont indépendants du temps. Une étude plus attentive des fonctions aléatoires montre cependant que la stationnarité n’est pas toujours acquise et qu’il faut parfois distinguer la stationnarité au sens strict de celle qui regarde l’ordre des moments de la fonction.

Une autre propriété, étroitement associée à la précédente, s’appelle l’ergodisme 2. L’ergodisme apporte d’intéressantes simplifications dans la mesure où l’on peut exploiter la convergence existant entre les moments de la variable aléatoire et les valeurs moyennes de la fonction calculées par intégration sur le paramètre déterministe. Cette propriété n’est pas très aisée à justifier sur le plan théorique, aussi faut-il souvent user de considérations intuitives pour la découvrir.

Le domaine d’application le plus répandu des fonctions aléatoires est certainement le traitement des signaux. Même doté des propriétés de stationnarité et d’ergodicité, un signal aléatoire n’est pas facile à caractériser à cause de l’impossibilité de le décrire analytiquement et d’y associer un spectre au sens habituel de l’intégrale de Fourier.

Les fonctions de corrélation et les densités spectrales de puissance vont toutefois apporter une réponse positive à ce problème.

En effet, les premières sont la généralisation des coefficients de corrélation traitant de systèmes à deux variables aléatoires. On distinguera la fonction d’autocorrélation, dont le principe est d’exprimer la dépendance stochastique de deux échantillons d’un même signal en fonction du décalage temporel qui les sépare, et la fonction d’intercorrélation qui concerne les échantillons de deux signaux distincts 3.

Les exemples montrent qu’il est souvent possible d’exprimer analytiquement ces fonctions et d’accéder ainsi à une représentation mathématique caractérisant les propriétés stochastiques des signaux aléatoires.

Les fonctions d’autocorrélation et d’intercorrélation étant bornées, on peut leur appliquer l’intégrale de Fourier dont le résultat s’appelle l’autospectre et l’interspectre. Cette transformation mathématique, plus connue sous le nom de théorème de Wiener-Khintchine, se révèle un artifice très puissant pour caractériser la signature spectrale des signaux aléatoires stationnaires 4.

Une classe particulière de fonctions aléatoires obéit aux processus de Markov et plus particulièrement aux processus de Gauss-Markov. Nous en rappellerons les principales hypothèses et insisterons sur les propriétés remarquables de leurs fonctions d’autocorrélation 5.

Cet article fait suite à l’article Processus aléatoires Processus aléatoires du présent traité, auquel le lecteur se reportera.