Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Les systèmes réparables constituent encore la majeure partie de l’électronique. Leurs caractéristiques de sûreté de fonctionnement portent sur l’indisponibilité, la probabilité pour que l’entité soit inapte à l’utilisation, et le taux de défaillance élémentaire, la fréquence des défaillances, permettant de dimensionner la logistique de soutien. Seule la modélisation du cycle du processus de fonctionnement et de maintenance curative rend compte du cycle de vie du système et permet les calculs des probabilités d’état. Les cas de figure sont nombreux, plusieurs méthodes analytiques permettent d’y répondre. Des exemples ont été retenus pour illustrer ces modélisations qualitatives de fonctionnement et de dysfonctionnements.
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Marc GIRAUD : Ingénieur de l’École Française de Radioélectricité, d’Électronique et d’Informatique (EFREI) - Ancien chef du service Sûreté de fonctionnement et Testabilité de Dassault Électronique
INTRODUCTION
Les systèmes réparables constituent encore la majeure partie de l’électronique (mis à part les dispositifs dont le coût de réparation est prohibitif devant celui de fabrication).
Sur leur cycle de vie, les caractéristiques SdF les plus pertinentes y sont celles qui grèvent le coût de possession, c’est-à-dire l’indisponibilité et le taux de défaillance élémentaire.
La première s’exprime – ponctuellement – par la probabilité pour que l’entité considérée soit inapte à l’utilisation (malgré la redondance éventuelle et les réparations), ou bien – après stabilisation du régime transitoire – par le temps moyen après lequel le matériel n’est plus utilisable (entre défaillance et remise en service).
Le second rend compte de la fréquence des défaillances, qui devient vite constante et permet – de préférence à la fiabilité – de dimensionner la logistique de soutien.
Mais c’est la modélisation même du processus de fonctionnement et de maintenance curative qui rend compte du cycle de vie du système et permet les calculs des probabilités d’état ou de ses estimateurs.
Plusieurs méthodes analytiques sont présentées pour répondre aux différents cas de figure :
-
d’abord (et plus en profondeur, car la plus utilisée) celle dite MEE (méthode de l’espace des états) pour le processus markovien à taux de transition
et
constants ; ensuite, brièvement, quelques-unes de ses extensions : états fictifs, états de marche critique et séquences d’états ;
-
enfin, sa généralisation aux processus semi-markoviens où la probabilité de transition d’un état vers un autre ne dépend que du temps de séjour écoulé dans le premier.
Toutefois, ces analyses séquentielles ne permettent pas de modéliser les situations de conflit ou de blocage, survenant particulièrement dans les systèmes asynchrones.
On présente donc dans la suite, à l’aide de la symbolique très riche des réseaux de Petri (RdP), des exemples – parmi bien d’autres – de modélisations qualitatives de fonctionnement et de dysfonctionnements. On en vient enfin à leur utilisation quantitative (RdPS), via l’équivalence markovienne, par le choix approprié de lois de tirage des transitions du réseau ou comme support bas niveau pour simulations de Monte-Carlo.
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Cas où et dépendent de l’état du système : méthode de l’espace des états1. Disponibilité d’une entité
1.1 Régimes transitoire et stationnaire
Considérons (figure 1a, b) l’entité à deux états (« 1 » = fonctionnement, « 0 » = panne), de probabilités respectives P1(t), P0 (t) ; la probabilité instantanée de passage de l’état « 1 » à l’état « 0 » est λdt, et celle de passage de l’état « 0 » à l’état « 1 » est µ dt (
et
étant ici constants, les temps passés dans ces états sont alors exponentiellement distribués).
L’état bon à l’instant t + dt résulte des probabilités conditionnelles :
-
[1 – λ] dt, si l’entité y était déjà à t,
-
µ dt si elle était en panne réparable à cet instant (en négligeant les termes en dt2).
Soit, en sommant ces éventualités « mutuellement exclusives et collectivement exhaustives » :
d’où
et si dt ® 0, on obtient l’équation différentielle suivante – à coefficients constants – de transition à l’état disponible :
à laquelle on adjoint la condition :
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Disponibilité d’une entité
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - GONDRAN (M.), PAGÉS (A.) - Fiabilité des systèmes. - Collection de la direction des études et recherches d’EDF, Eyrolles (1980).
-
(2) - VILLEMEUR (A.) - Sûreté de fonctionnement des systèmes industriels. - Eyrolles (1988).
-
(3) - LEROY (A.), SIGNORET (J.–P.) - Le risque technologique. - Que sais-je ? no 2669, PUF.
-
(4) - AGERWALA (T.K.) - Putting Petri nets to work. - IEEE (1979).
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(5) - HURA (G.S.) - Petri net as a modelling tool. - Microelectronics Reliability, vol. 22, no 3 (1982).
-
(6) - HURA (G.S.) - Petri net approach to the analysis of a stuctured program. - Microelectronics Reliability, vol. 22, no 3 (1982).
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