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En anglais
Auteur(s)
-
Claude ROUXEL : Enseignant au Conservatoire National des Arts et Métiers
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les nombres complexes sont très utilisés en électricité. L’idée de base pour construire cet ensemble de nombres est d’adjoindre à l’ensemble
des réels, un nouveau nombre, noté
, dont le carré vaut (–1).
Ce nouvel ensemble de nombres est conçu de façon à :
-
conserver les règles opératoires sur les réels (associativité, commutativité, distributivité...) ;
-
tenir compte de la nouvelle règle :
= –1.
On démontre alors que les nombres complexes peuvent s’écrire, de façon unique, sous la forme dite cartésienne :
où a et b sont des réels.
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Forme cartésienne des nombres complexes
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5. Transformation cissoïdale
Dans cette partie, nous adoptons la convention qui consiste à souligner les variables complexes.
5.1 Définition
Considérons un signal sinusoïdal de pulsation ω appliqué à un système linéaire :
En développant le sinus, on peut aussi l’écrire :
avec :
égalités équivalentes à :
En régime permanent, c’est-à-dire lorsque les grandeurs d’entrée et de sortie d’un système linéaire sont stables dans le temps, on veut pouvoir raisonner sur les paramètres (ω, A, ϕ ) de la fonction sans faire intervenir le temps.
On est ainsi amené à définir la transformation cissoïdale en associant à f le nombre complexe :
Note : le mot « cis » vient de la contraction de « cosinus i sinus ».
On a alors avantage à considérer la fonction f (t ) = Asin(ωt + ϕ ) comme la partie imaginaire de la fonction complexe :
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