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Auteur(s)
-
Claude ROUXEL : Enseignant au Conservatoire National des Arts et Métiers
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les nombres complexes sont très utilisés en électricité. L’idée de base pour construire cet ensemble de nombres est d’adjoindre à l’ensemble
des réels, un nouveau nombre, noté
, dont le carré vaut (–1).
Ce nouvel ensemble de nombres est conçu de façon à :
-
conserver les règles opératoires sur les réels (associativité, commutativité, distributivité...) ;
-
tenir compte de la nouvelle règle :
= –1.
On démontre alors que les nombres complexes peuvent s’écrire, de façon unique, sous la forme dite cartésienne :
où a et b sont des réels.
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3. Formules de Moivre et d’Euler
La formule du produit [relation [12]] s’étend à l’élévation à une puissance entière :
elle reste valable pour n entier négatif ou fractionnaire (n ∊
) quand n est fractionnaire, il faut tenir compte du fait que θ est défini modulo 2π 4.2.
3.1 Formule de Moivre
La formule d’élévation à la puissance écrite quand ρ = 1 fournit la formule de Moivre :
Cette formule, valable pour n ∊
, permet le calcul rapide des lignes trigonométriques du multiple d’un arc en fonction de celles de l’arc.
Calcul de cos(3θ ) et sin(3θ )
Écrivons l’identité de Moivre pour n = 3 :
En développant,...
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