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1 - FORME CARTÉSIENNE DES NOMBRES COMPLEXES

2 - NOMBRES COMPLEXES SOUS FORME TRIGONOMÉTRIQUE

3 - FORMULES DE MOIVRE ET D’EULER

  • 3.1 - Formule de Moivre
  • 3.2 - Formules d’Euler

4 - APPLICATIONS

5 - TRANSFORMATION CISSOÏDALE

| Réf : D31 v1

Nombres complexes sous forme trigonométrique
Mathématiques pour l’électricien - Nombres complexes

Auteur(s) : Claude ROUXEL

Date de publication : 10 mai 1999

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Auteur(s)

  • Claude ROUXEL : Enseignant au Conservatoire National des Arts et Métiers

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INTRODUCTION

Les nombres complexes sont très utilisés en électricité. L’idée de base pour construire cet ensemble de nombres est d’adjoindre à l’ensemble des réels, un nouveau nombre, noté , dont le carré vaut (–1).

Ce nouvel ensemble de nombres est conçu de façon à :

  • conserver les règles opératoires sur les réels (associativité, commutativité, distributivité...) ;

  • tenir compte de la nouvelle règle :  = –1.

On démontre alors que les nombres complexes peuvent s’écrire, de façon unique, sous la forme dite cartésienne :

a et b sont des réels.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-d31


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2. Nombres complexes sous forme trigonométrique

De nombreuses applications des nombres complexes, notamment en électricité, sont basées sur le fait que la multiplication par « j » peut être interprétée comme une rotation d’un angle droit ; cela nous amène à définir un autre repérage des complexes que le repérage cartésien.

2.1 Module et argument d’un nombre complexe

Étant donné un nombre complexe non nul z d’image M, on appelle (figure 4) :

  • module de z la distance OM ; on le note  ;

  • argument de z, une des mesures en radian de l’angle orienté (Ox ) ; on le note Arg (z ).

Comme pour les angles, l’argument n’est défini qu’à k 2π près (modulo 2π) ; si θ est un argument de z :

(θ + k 2π)

k est aussi un argument de z.

Pour z = 0, le module est nul ; l’argument n’est pas défini.

HAUT DE PAGE

2.2 Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Représenter un nombre complexe a + jb sous forme trigonométrique, c’est se donner son module ρ et un argument θ.

Les projections sur les axes fournissent alors partie réelle et partie imaginaire :

a = ρ cosθ

b = ρ sinθ
( 4 )

et...

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